截圖來自於https://www.icourse163.org/course/UESTC-1002268006
集合論基礎
不含任何元素的集合是空集 空集是絕對唯一的
對於一個具體的範圍 考慮的所有對象的集合是全集 記作U或E 全集是相對唯一的
證明集合相等：
冪集也叫做集族或集合的集合，對集族的研究在數學方面、知識庫和表處理語言以及人工智能等方面都有十分重要的意義。
並集：
交集：
補集：
差集：
對稱差集：
等勢：
命題邏輯
一切沒有判斷內容的句子 ，如命令句(或祈使句)、感嘆句、疑問句、二義性的陳述句等都不能作爲命題。
原子命題(簡單命題) :不能再分解爲更爲
簡單命題的命題。
複合命題:可以分解爲更爲簡單命題的命題。這些簡單命題之間是通過如“或者"、"並且”、"不”、 “如果…則…”、“當且僅當”等這樣的關聯詞和標;點符號複合而成。
否定連接詞：
合取連接詞：
析取連接詞：
蘊含連接詞：
等價連接詞：
總結連接詞特點：
1所有五個聯接詞的優先順序爲:否定,合取,取,蘊涵，等價;
2同級的聯結詞,按其出現的先後次序(從左右) ;
3若運算要求與優先次序不一致時,可使用括號同級符號相鄰時,也可使用括號。括號中的運算爲最高優先級。
常值命題、命題變元：
真值表：
由公式G在其所有可能的解釋下所取真值構的表，稱爲G的真值表(truth table)。
永真、永假、可滿足公式：
極大項、極小項：
極小項性質：
極大項性質：
主範式求解定理：
推理定律-基本蘊含關係
推理規則：
謂詞邏輯
推理形式：
各種定義：
1.客觀世界中可以獨立存在的具體或抽象對象稱爲個體，表示個體的詞稱爲個體詞。若個體詞以常量的方式表示特定個體，則稱之爲個體常量；若個體詞以變量的方式泛指不確定的個體，則稱之爲個體變量。
2.個體變量的取值範圍稱爲個體域或論域。宇宙間所有的個體域聚集在一起構成的個體域，稱爲全總個體域。
3.設𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛爲𝑛個個體變量，其個體域均爲非空集合 D，則定義在𝐷𝑛上取值於{0, 1}的𝑛元函數稱爲𝑛元簡單命題函數，記爲𝑃(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛)
4.簡單命題函數通過“¬”、“∧” 、“∨”、“→”、“↔”等聯結詞進行邏輯演算得到的邏輯表達式，稱爲複合命題函數。
5.對於𝑛元簡單命題函數𝑃(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛)，將其中的函數名 P 稱爲謂詞，將 n元簡單命題函數𝑃(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛)稱爲𝑛元謂詞。
6.對於𝑛元謂詞𝑃(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛)，若將其中每個個體變量𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛分別指定具體的個體，由此得到的命題𝑃(𝑎1, 𝑎, ⋯ 𝑎𝑛)，稱爲謂詞填式，也稱爲命題的謂詞式。
7.對於給定的謂詞 P(x)，若個體變量 x 在其個體域內的所有賦值都使得 P(x)的取值爲真，則稱 P(x)得到全稱量化，記爲：∀𝑥𝑃(𝑥)。其中∀稱爲全稱量詞，∀後面的 x 稱爲其作用變量，∀𝑥的含義爲“對於變量 x 個體域中的每個個體…”。
8.對於給定的謂詞 P(x)，若個體變量 x 在其個體域內至少存在一個賦值都使得 P(x)的謂詞填式取值爲真，則稱 P(x)得到存在量化，記爲：∃𝑥𝑃(𝑥)。其中∃稱爲**存在量詞，**∃後面的 x 稱爲其作用變量，∃𝑥的含義爲“變量 x 個體域中至少存在一個個體…”
符號使用規則
（1）個體常量符號：用帶或不帶下標的小寫英文字母 a, b, c,…表示個體常量。
（2）個體變量符號：用帶或不帶下標的小寫英文字母 x, y, z,…表示個體變量。
（3）個體函數符號：用帶或不帶下標的小寫英文字母 f, g, h,…表示個體函數。所謂個
體函數，就是個體與個體之間的映射關係。
（4）謂詞符號：用帶或不帶下標的大寫英文字母 P, Q, R,…表示謂詞。
謂詞邏輯中的個體項，被遞歸地定義爲：
（1）個體常量符號是個體項；
（2）個體變量符號是個體項；
（3）若𝑓(𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛)是𝑛元函數，𝑡1，𝑡2，…，𝑡𝑛是個體項，則𝑓(𝑡1，𝑡2，…，𝑡𝑛)
是個體項；
（4）所有個體項都是有限次使用(1)，(2)，(3)生成的符號串。
10.設𝑃(𝑥1，𝑥2，…，𝑥𝑛)是𝑛元謂詞公式，𝑡1，𝑡2，…，𝑡𝑛是個體項，則稱𝑃(𝑡1，𝑡2，…，𝑡𝑛)爲謂詞演算的原子公式，簡稱爲原子謂詞公式
11.謂詞合式公式亦稱爲謂詞公式，它按下列遞歸方式定義：
12.假設𝐺(𝑥)是任意一個含有命題變量𝑥的謂詞，在公式(∀𝑥)𝐺(𝑥)或(∃𝑥)𝐺(𝑥)中，(∀𝑥)或(∃𝑥)的作用變量 x 在𝐺(𝑥)中存在的範圍稱爲量詞(∀𝑥)或(∃𝑥)的轄域。如果轄域不是原子謂詞公式，其兩側必須有括號，否則不應有括號。
（1）若量詞後面有括弧，則括弧內的子公式就是該量詞的轄域；
（2）若量詞後面無括弧，則與該量詞鄰接的子公式爲該量詞的轄域。
13.假設𝐺是任一謂詞公式，𝑥是𝐺的任意一個命題變量，如果𝑥出現在以它爲作用變量的量詞轄域之內，則稱𝑥的出現爲約束出現，稱變量𝑥爲約束變量；如果𝑥不是約束出現，則稱其爲自由出現，此時稱𝑥爲自由變量。
約束變量的換名規則：
（1）將量詞中出現的變量以及該量詞轄域中此變量的所有約束出現都替換爲新的變量；
（2）新變量名一定要有別於轄域中的所有其它變量名
自由變量的代入規則：
（1）將公式中出現該自由變量的每一處都用新的變量替換；
（2）新變量不允許在原公式中以任何約束形式出現
14.若謂詞公式 G 中不含自由變量，則稱該公式爲封閉公式或閉式。
15.謂詞公式 G 的每一個解釋 I 由如下四個部分組成：
（1）確定非空的個體域集合 D；
（2）確定公式 G 中的每個常量符號的含義，即指定 D 中的某個特定的元素；
（3）確定公式 G 中的每個𝑛元函數的具體形式，即對於公式 G 中每個𝑛元函數分別指
定一個從 Dn到 D 中的特定函數與之對應；
（4）確定公式 G 中的每個𝑛元謂詞符號的具體形式，即對於公式 G 中每個𝑛元謂詞符
號分別指定一個從 Dn到｛0, 1｝的特定函數與之對應。
16.對於任意一個給定的謂詞公式 G，如果 G 在其所有的解釋 I 下的真值取值爲真，則稱 G 稱爲有效公式；如果 G 在其所有的解釋 I 下的真值取值都爲假，則稱 G 爲矛盾公式；如果 G 不是矛盾公式，則稱其爲可滿足公式
17.假設 G 和 H 是任意兩個給定的謂詞公式，若公式𝐺 ↔ 𝐻是有效公式，則稱公式 G 和 H 稱爲等值的，記爲𝐺 ⇔ 𝐻，並稱𝐺 ⇔ 𝐻爲等值表達式或等值式
18.假設𝐺和𝐻是任意兩個謂詞公式，如果謂詞公式𝐺 → 𝐻是有效公式，則稱謂詞公式𝑮邏輯蘊含謂詞公式𝑯，亦稱𝐺 與𝐻之間具有邏輯蘊含關係，通常簡稱爲蘊含關係，記作𝐺 ⇒ 𝐻，並稱該式爲謂詞公式的邏輯蘊含式，通常簡稱爲蘊含式
**定理1.**假設𝐺(𝑥)和𝐻(𝑥)是任意兩個謂詞公式，則存在如下邏輯蘊含關係：
∀𝑥𝐺(𝑥) ∨ ∀𝑥𝐻(𝑥) ⇒ ∀𝑥(𝐺(𝑥) ∨ 𝐻(𝑥))
∃𝑥(𝐺(𝑥) ∧ 𝐻(𝑥)) ⇒ ∃𝑥𝐺(𝑥) ∧ ∃𝑥𝐻(𝑥)
前束範式是謂詞公式中所有範式中唯一滿足等值性質的方式。所謂滿足等值性質，是指對於任意一個謂詞公式，將其做規範化表示後所得到的範式與原謂詞公式等值。本小節主要介紹前束範式的概念與構造方法。
19.假設 G 是任意一個謂詞公式，如果 G 的一切量詞都位於該公式的最前端(不含否定詞)且這些量詞的轄域都延伸到公式的末端，則稱 G 是一個前束型公式。換句話說，謂詞公式 G 作爲前束型公式必須滿足如下表達形式：
𝐺 ⇔ (𝑄1𝑥1)(𝑄1𝑥2) ⋯ (𝑄𝑛𝑥𝑛)𝑀(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛)
其中𝑄𝑖爲量詞∀或∃，M 中不能含有任何量詞，稱 M 爲謂詞公式 G 的母式或基式
定理2.任意一個含有量詞的謂詞公式都可以轉化爲與之等值的前束型公式的形式，但是這種形式並不唯一。
20.假設謂詞公式 G 是任意一個前束型公式，即有：
𝐺 ⇔ (𝑄1𝑥1)(𝑄1𝑥2)⋯ (𝑄𝑛𝑥𝑛)𝑀(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛)
其中𝑄𝑖爲量詞∀或∃，M 中不含有任何量詞。如果 G 的母式 M 是一個析取範式，則稱 G 是一個前束析取範式；如果 G 的母式 M 是一個合取範式，則稱 G 是一前束合取範式。前束析取範式和前束合取範式統稱爲前束範式
定理 3.任意一個含有量詞的謂詞公式都分別存在與之等值的前束析取範式和前束合取範式，但範式的形式並不唯一。
21.∃型前束範式
∃型前束範式將所有存在量詞排在所有全稱量詞的左邊，具體定義如下：
假設 G 是任意一個謂詞公式，如果 G 具有如下形式：
𝐺 ⇔ (∃𝑥1)(∃𝑥2) ⋯ (∃𝑥𝑖)(∀𝑥𝑖+1) ⋯ (∀𝑥𝑛)𝑀(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛) （4-13）
即所有存在量詞排在所有全稱量詞的左邊且G中至少含有一個存在量詞，則稱 G 是一個∃型前束公式，其中𝑀(𝑥1, 𝑥2, ⋯ 𝑥𝑛)爲公式的母式，要求既不含任何量詞也無任何自由變量。如果∃型前束公式的模式是一個析取範式或合取範式，則稱該∃型前束公式爲∃型前束範式
定理 4.假設 G 是任意一個謂詞公式，則可將 G 轉化爲一個∃型前束範式，並且 G是有效公式當且僅當其∃型前束範式也是一個有效公式。
無∃型前束範式
另外一種斯科倫範式是僅保留全稱量詞的前束範式，稱之爲無∃型前束範式。對於任意一個謂詞公式，可由下列方法構造其無∃型前束範式：
第一步 將該謂詞公式轉化爲前束型公式。
第二步 將前束型公式轉化爲無∃型前束公式：在含有存在量詞的前束型公式中，從左邊數第一個存在量詞開始，依次消除每個存在量詞。消除的規則如下：如果存在量詞∃𝑥的左邊有𝑛個全稱量詞，則任取一個新的以這些全稱量詞的指導變元爲自變量的𝑛元個體函數取代謂詞公式中的所有𝑥的出現。特別地，當𝑛 = 0時，即∃𝑥的左邊無全稱量詞，則在消除∃𝑥後，以論域中某個未在公式中出現的個體常量取代謂詞公式中的所有𝑥的出現。
第三步 將無∃型前束型公式中不含量詞的部分，即母式部分轉化爲析取範式或合取範式，便可得到所求的無∃型前束範式
定理 5.假設 G 是任意一個謂詞公式，則可將 G 轉化爲一個無∃型前束範式，並且G 是永假公式當且僅當其無∃型前束範式也是一個永假公式。
22.設𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛，H 是一些謂詞公式，如果它們滿足下列性質：對於這些公式的任意一個解釋 I，𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛在該解釋下同時爲真的情況下 H 在該解釋下也爲真，則稱公式𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛可有效推出公式 H，或稱由𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛得到 H 的邏輯推理爲有效推理，記爲𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛 ⇒ 𝐻，並稱𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛爲推理前提，H 爲𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛的邏輯結論。
定理6.謂詞公式𝐻是謂詞公式𝐺1, 𝐺2 ⋯ 𝐺𝑛的邏輯結論，當且僅當下式：
𝐺1 ∧ 𝐺2 ∧ ⋯ ∧ 𝐺𝑛 → 𝐻
爲有效公式
全稱特指規則(簡稱 US 規則)：這條規則具有如下兩種基本形式，即：
US 規則的基本含義是：如果任意x 𝑃(𝑥)爲真，那麼對於論域中任何指定的個體𝑐，必有𝑃(𝑐)爲真。其中，P 是謂詞，(1)中的 y 是任意不在𝑃(𝑥)中約束出現的個體變量；(2)中的c爲個體域中任意指定的一個個體常量。
存在特指規則(簡稱 ES 規則)：
存在x 𝑃(𝑥) ⇒ 𝑃(𝑐)
ES 規則的基本含義是：如果存在x 𝑃(𝑥)爲真，那麼在個體域中必然至少存在某一個個體𝑐，
使得𝑃(𝑐)爲真。其中，c 爲個體域中使 P 成立的特定個體常量。
全稱推廣規則(簡稱 UG 規則)：
𝑃(𝑦) ⇒ 任意x 𝑃(𝑥)
UG 規則的基本含義是：如果個體變量𝑦在個體域內取到每一個個體時都有𝑃(𝑦)爲真，
那麼必有任意x 𝑃(𝑥)爲真。這裏要求𝑥既不是𝑃(𝑦)中約束變量也不是𝑃(𝑦)中的自由變量，即要
求個體變量𝑥不能在𝑃(𝑦)中出現。
**存在推廣規則(簡稱 EG 規則)：**這條規則具有如下兩種基本形式，即：
UG 規則的基本含義是：如果對於個體域中某個或某些指定的個體𝑐滿足𝑃(𝑐)爲真，那
麼必有存在x 𝑃(𝑥)爲真。其中，(1)式要求𝑃(𝑦)中無自由變量𝑥；(2)式中要求𝑐爲個體域中的某
個或某些個體常量。