二次方程

題目詳情

二次方程與二次函數是我們中學最重要的內容了，不過古人剛開始研究二次方程時最關心的還是二次方程的整數解。所以我們就來研究一下二次方程的整數解問題。

現給定N，P，N爲32爲整數，P爲不超過100000的素數，問在N內的正整數中是否存在n，n,p互素，使得存在整數k，滿足x^2-n-kP=0有整數解，若存在，請找出有多少個。

輸入 N ，P。

輸出 sum ，sum爲使得滿足上述條件的n的總的個數。

答題說明

輸入案例：

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輸出案例：

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思路： 這種題，我做的時候感覺就是在碰運氣，不停的把公式變來變去，嘿，剛好變成我想要的了。

由於p是素數，且n,p互素，所以n=k*p + b，其中0<b<p, k爲整數，那麼

          x^2 - n - k * P = x^2 - k1 * p - b - k2 * p = x^2 - (k1 + k2) * p - b = 0, 

由於k1與k2是任意的，所以

         x^2 - n - k *  p = x^2 - k * p - b = 0，即 x^2 = k * p + b，

即（x^2）% p = b， 現在要求的就是b，對於某個b， n裏面的正整數個數就是（n - b) / p + 1, 

其中b <= n，假設x = r * p + t, 其中0<t<p, 則（x^2）% p = （t * t）% p = b，現在就可以暴

力枚舉t（0到p，開區間）求得所有可能的b，   

代碼如下：

#include <iostream> #include <climits> #include <cmath> #include <algorithm> #include <iomanip> #define inf 0x7fffffff #define MOD 1000000007 using namespace std; bool flag[100001]; int main() { unsigned int n, p; while(scanf("%d%d", &n, &p) != EOF) { int i, j; fill_n(flag, p, false); for(i=1; i!=p; i++) flag[((__int64)i*i)%p] = true; unsigned int res = 0; for(i=1; i!=p; i++) { if(flag[i] && i<=n) { res += (n-i)/p + 1; } } printf("%d\n", res); } return 0; }