向量的內積外積與其幾何意義

一、點乘（內積）

有向量 $\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)$，夾角爲 $\theta$，內積爲：
$\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2$

幾何意義：

1. 夾角，由 $\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ 知，當內積 $>0$，$\theta<90^\circ$，內積 $<0$，$\theta>90^\circ$，內積 $=0$，$\theta=90^\circ$。同時也可以計算 $\theta$ 的值：$\theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$
2. 投影，$|\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}$ 表示 $\vec a$ 在 $\vec b$ 上的投影。
   對偶性：$\vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)$
   $|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)$ 的理解是 $\vec a$ 的長度與 $\vec b$ 在 $\vec a$ 上的投影的乘積；
   $|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)$ 的理解是 $\vec b$ 的長度與 $\vec a$ 在 $\vec b$ 上的投影的乘積；
   而這兩個是相等的。

二、叉乘（外積）

上面的公式，就是求三階行列式。

幾何意義：

1. 上面如果不把 $\vec i,\vec j,\vec k$ 的具體指帶入公式，而是寫成 $\vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k$ 的形式，向量 $(m,n,l)$ 就是一個同時垂直 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的向量，如下圖：
   
2. 對於二維向量，$\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)$，按照上面的公式得：
   $\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1$，設這個數值爲 $m$。
   則，$|m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta$ （$\theta$爲 $\vec a$ 和 $\vec b$ 的夾角）
   且，|m| = $\vec a$ 和 $\vec b$構成的平行四邊形的面積 ，如下圖：
   
3. 判斷向量的相對位置（順逆時針）
   $\vec a$ 和 $\vec b$ 如圖所示：

如果讓 $\vec a$ 以最小角度轉到 $\vec b$ 的方向，是順時針還是逆時針呢，從圖中很容易看出，但怎麼用數字判斷呢？
仍然是 $m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1$，
當 $m>0$，$\vec a$ 逆時針轉到 $\vec b$ 的角度 $<180^\circ$，
當 $m<0$，$\vec a$ 逆時針轉到 $\vec b$ 的角度 $>180^\circ$，
當 $m=0$，$\vec a$ 和 $\vec b$ 共線。

直觀記憶如下圖：

$m>0$，$\vec b$ 在藍色部分；
$m<0$，$\vec b$ 在紅色部分；
$m=0$，$\vec b$ 在分界線上（與 $\vec a$ 共線 ）。

三、擴展（座標系引發的順逆指針分不清事件）

我們平時默認的座標系是這樣的：

但有時候的座標系是這樣的（比如數字圖像中）：

可以發現，同樣的 $\vec a=(2,1)$ 轉到 $\vec b=(1,2)$ ，在上面的座標系中就是逆時針，而在下面的座標系中就是順時針，所以爲了統一說明，定義了 “正旋轉” ：從 $x$ 軸旋轉到 $y$ 軸的方向。
所以，上面利用向量叉乘判斷向量相對位置的性質描述應該爲：
當 $m>0$，$\vec a$ 正旋轉到 $\vec b$ 的角度 $<180^\circ$，
當 $m<0$，$\vec a$ 正旋轉到 $\vec b$ 的角度 $>180^\circ$，
當 $m=0$，$\vec a$ 和 $\vec b$ 共線。
而那張直觀記憶圖只在我們平時默認的座標系中才成立。