豪斯多夫（Hausdorff）距離

一、定義

給定歐氏空間中的兩點集 $A= \{a_1,a_2,...\},B= \{b_1,b_2,...\}$ ，豪斯多夫（Hausdorff）距離就是用來衡量這兩個點集間的距離。定義公式如下：
$H(A,B)=\max[h(A,B),h(B,A)]$其中，
$h(A,B)=\max_{a\in A}\min_{b\in B} ||a-b||\\ h(B,A)=\max_{b\in B}\min_{a\in A} ||b-a||$
$H(A,B)$ 稱爲雙向 Hausdorff 距離， $h(A,B)$ 稱爲從點集A到點集B的單向 Hausdorff 距離。相應地 $h(B,A)$ 稱爲從點集B到點集A的單向 Hausdorff 距離。

二、例子

下面從一個例子來理解 Hausdorff 距離：

上圖中，給出了 A,B,C,D 四條路徑，其中路徑 A 具體爲（16-17-18-19-20），路徑 B 具體爲（1-2-3-4-9-10）。要求 Hausdorff 距離 $H(A,B)$，則需要先求出單向 Hausdorff 距離 $h(A,B)$ 和 $h(B,A)$。

對於$h(A,B)$，以 A 中的點 16 爲例，在路徑 B中的所有點中，距離點 16 最近的是點 1 ，距離爲 3。即： $\min_{b\in B} ||a_{(16)}-b||=3$

同理由圖可得：
$\min_{b\in B} ||a_{(17)}-b||=3\\ \min_{b\in B} ||a_{(18)}-b||=3\\ \min_{b\in B} ||a_{(19)}-b||=2\\ \min_{b\in B} ||a_{(20)}-b||=2\\$
在它們中，值最大的爲 3，故 $h(A,B)=3$ 。

同理可得，$h(B,A)=4$ 。

所以 $H(A,B)=max[h(A,B),h(B,A)]=4$ 。

同理可求出上圖中四條路徑間的單向 Hausdorff 距離如下表所示：

三、性質

• 雙向 Hausdorff 距離 $H(A,B)$ 是單向 Hausdorff 距離 $h(A,B)$ 和 $h(B,A)$ 兩者中較大者，顯然它度量了兩個點集間的最大不匹配程度。

• 如上圖，當 A 和 B 都是閉集的時候，Hausdorff 距離滿足度量的三個定理：

1. $H(A,B)\geq0$ ，當且僅當 $A=B$ 時，$H(A,B)=0$
2. $H(A,B)=H(B,A)$
3. $H(A,B) + H(B,C)\geq H(A,C)$

• 若凸集 $A,B$ 滿足 $A\not\subset B$ 且 $B\not\subset A$，並記 $\partial A，\partial B$ 分別爲 $A,B$ 邊界的點集合，則 $A,B$ 的 Hausdorff 距離等於 $\partial A，\partial B$ 的 Hausdorff 距離。

• Hausdorff 距離易受到突發噪聲的影響。
  

當圖像受到噪聲污染或存在遮擋等情況時，原始的 Haudorff 距離容易造成誤匹配。所以，在1933年，Huttenlocher 提出了部分 Hausdorff 距離的概念。
簡單地說，包含 $q$ 個點的集合 $B$ 與集合 $A$ 的部分 Hausdorff 距離就是選取 $B$ 中的 $K(K\geq1且K\leq1)$ 個點，然後求這 $K$ 個點到 $A$ 集合的最小距離，並排序，則排序後的第 $K$ 個值就是集合 $B$ 到集合 $A$ 的部分單向 Hausdorff 距離。定義公式如下：
$h_K(A,B)=K^{th} \max_{a\in A}\min_{b\in B}||a-b||$
相應地，部分雙向 Hausdorff 距離定義爲：
$H_K(A,B)=\max[h_K(A,B),h_K(B,A)]$

參考：

https://www.cnblogs.com/xlz10/p/3929119.html