#NOIP模拟赛#吃糖果candy（缩小选边范围--mod区间）

吃糖果（candy）

【题目描述】

小D有一包糖果和N张卡片。每张卡片上都有一个正整数Pi。小D想这样吃糖果，他把两张卡片用线串起来，如果两张卡片上的数字分别为Pa和Pb，他就吃掉min(Pa%Pb,Pb%Pa)的糖果。

他想最终把所有的卡片都串起来——即提起一张卡片，就可以将其他卡片都提起。请问他最少需要吃掉多少糖果。

【输入格式】

第一行包含一个正整数N（1<=N<=10⁵)

接下来N行，每行一个正整数Pi（1<=Pi<=10⁷)

【输出格式】

有且只有一行，输出答案。

【数据范围】

30%的数据N<=10³

40%的数据Pi<=10⁶

70%的数据上述条件至少满足1个。

【输入样例1】

4

2

6

3

11

【输出样例1】

1

 

【输入样例2】

4

1

2

3

4

【输出样例2】

0

 

【输入样例3】

3

4

9

15

【输出样例3】

4

对于两个点u,v它们边的长度就是min(Pu%Pv,Pv%Pu)，

如果两张卡片上的数相等，那么他们之间边权为0，可以将他们看做一个顶点。

于是我们只需要考虑卡片上的互不相等的情况。

设卡片的最大值为maxz，注意到maxz不超过10^7,将卡片按值由小到大排序，对于某张卡片i，设它的值为pi。

以pi为周期，将[pi,maxz]分为若干个区间，最后一个区间可能不足pi。

在每个区间找到模pi的值最小的卡片，将该卡片和卡片i连边，特别的，第一个区间即[pi,2*pi-1]，要注意不能找第i张卡片本身。

我们只需要在刚才连的边中求一个最小生成树即可。

aft[P[i]]表示值大于P[i]的第一个值。

下面给出一些思考点和证明：

1，为什么第一段要单独处理？

因为每段区间mod最小的值应该储存在aft[P[i] * x]的地方，但是第一段不能选P[i]，所以必须向后移一个成为aft[P[i] + 1]

2，为什么每个P[i]值只对它处理一遍？

因为V的下标是边的长度，而每个相同的点权之间可以连边使得边权为0，所以只处理一遍，就是将那一堆权值相同的点中选出一个和其他权值不同的点相连。

3，区间中的点为什么选择aft边界位置中的最优？

因为对于P[i]来说，倍数肯定是mod值最小的，而不是倍数的话，就考虑离倍数最近的一个为当前区间中的最优值。

4，为什么从选出来的这些边中做最小生成树一定能保证N个点都连通？

注意我们的循环是对于每一个i而言的，所有点权不同的i一定都会被枚举到，并且每个点i都至少会在大小为P[i]的区间中找到一个与之相匹配的点来连边，最后的并查集一定会访问到V数组中所有的点，并保证将它们连成一棵最小生成树。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cassert>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int Max = 1 << 19;
const int Maxm = 1e7;

struct node{
    int u, v;
    node(){}
    node(int a, int b){u = a, v = b;}
};

int N;
int P[Max + 5], fa[Max + 5], rnk[Max + 5];
int pos[Maxm + 5], aft[Maxm + 5], Cnt[Maxm + 5];

vector<node>V[Maxm + 5];

bool getint(int & num){
    char c; int flg = 1;    num = 0;
    while((c = getchar()) < '0' || c > '9'){
        if(c == '-')    flg = -1;
        if(c == -1) return 0;
    }
    while(c >= '0' && c <= '9'){
        num = num * 10 + c - 48;
        if((c = getchar()) == -1)   return 0;
    }
    num *= flg;
    return 1;
}

int root(int x){
    if(! fa[x]) return x;
    return fa[x] = root(fa[x]);
}

int main(){
    freopen("candy.in", "r", stdin);
    freopen("candy.out", "w", stdout);
    getint(N);
    for(int i = 1; i <= N; ++ i){
        getint(P[i]);
        aft[P[i]] = P[i];
        if(pos[P[i]] == 0)
            pos[P[i]] = i;
    }
    for(int i = Maxm - 1; i >= 0; -- i) if(! aft[i])
        aft[i] = aft[i + 1];
    for(int i = 1; i <= N; ++ i){
        if(Cnt[P[i]] ++)    continue;
        if(aft[P[i] + 1]){
            if(P[i] * 2 > Maxm || aft[2 * P[i]] != aft[P[i] + 1])
                V[aft[P[i] + 1] - P[i]].push_back(node(i, pos[aft[P[i] + 1]]));
        }
        for(int j = 2 * P[i]; j <= Maxm && aft[j]; j += P[i])
            if(j + P[i] > Maxm || aft[j + P[i]] != aft[j])
                V[aft[j] - j].push_back(node(i, pos[aft[j]]));
    }
    long long rt = 0LL;
    for(int i = 0; i <= Maxm; ++ i)
        for(int j = 0; j < V[i].size(); ++ j){
            int a = root(V[i][j].u), b = root(V[i][j].v);
            if(a != b){
                if(rnk[a] > rnk[b]) fa[b] = a;
                else if(rnk[a] < rnk[b]) fa[a] = b;
                else    fa[a] = b, ++ rnk[a];
                rt += i;
            }
        }
    printf("%lld\n", rt);
    return 0;
}