有m種紙牌點數分別爲1~m,每種有無窮多張。
有n個人站成一列,給每個人發一張牌。求滿足任意相鄰兩人牌的點數不爲k的分發方案有多少。答案對1e9+7取模。
分類討論,表示前i個人的方案數,表示第i張牌滿足點數<k時的方案數,表示第i張牌滿足>=k時的方案數。顯然有。
討論m與k的關係(很關鍵!),
當m+1>k時,
(a),
(b)。
由 (a) 得,,即 。
將 (b) 與上式聯立,
即 ,
,
化簡得 。
即 的遞推式已求得。
將 用 表達的式子代入 ,。
所以用矩陣加速求出 和 ,直接代入 即可,注意要求k-1的逆元。
矩陣爲{{m-1,1}{m-k+1,0}}。
當m+1<=k時,m-k+1是k-m-1。
代碼如下 (由於矩陣很小我就懶得寫循環做矩陣乘法了哈哈哈):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD=1e9+7;
long long x[2],ans[2],cf[2][2],tmp[2][2];
void mult_ans()
{
ans[0]=((x[0]*cf[0][0])%MOD+(x[1]*cf[1][0])%MOD)%MOD;
ans[1]=((x[0]*cf[0][1])%MOD+(x[1]*cf[1][1])%MOD)%MOD;
x[0]=ans[0],x[1]=ans[1];
}
void mult_cf()
{
tmp[0][0]=cf[0][0],tmp[0][1]=cf[0][1],tmp[1][1]=cf[1][1],tmp[1][0]=cf[1][0];
cf[0][0]=((tmp[0][0]*tmp[0][0])%MOD+(tmp[1][0]*tmp[0][1])%MOD)%MOD;
cf[0][1]=((tmp[0][0]*tmp[0][1])%MOD+(tmp[0][1]*tmp[1][1])%MOD)%MOD;
cf[1][0]=((tmp[1][0]*tmp[0][0])%MOD+(tmp[1][1]*tmp[1][0])%MOD)%MOD;
cf[1][1]=((tmp[1][0]*tmp[0][1])%MOD+(tmp[1][1]*tmp[1][1])%MOD)%MOD;
}
long long ksm(long long a,long long b)
{
long long ret=1;
while(b)
{
if(b&1)
ret=(ret*a)%MOD;
a=(a*a)%MOD;
b>>=1;
}
return ret;
}
int main()
{
long long n,m,k;
cin>>m>>n>>k;
cf[0][0]=(m-1),cf[0][1]=1,cf[1][0]=abs(m-k+1),cf[1][1]=0;
x[0]=(k-1)%MOD*(m-1)%MOD,x[1]=(k-1);
n--;
while(n)
{
if(n&1)
mult_ans();
n/=2;
mult_cf();
}
cout<<(ans[1]+ans[0])%MOD*ksm(k-1,MOD-2)%MOD;
return 0;
}