[學習筆記] 分拆數的幾種求法

• 對分拆數的多種求法做了簡單的整理。

問題

• 令 $f_n$ 表示將 $n$ 進行分拆的方案數。
• 例如，$1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 2 = 1 + 3 = 2 + 2 = 4$ ，所以 $f_4 = 5$ 。
• 給出 $n \le 10^5(n \le 10^5)$，求 $f_1, f_2, ..., f_n$ 對 $998244353$ 取模。

算法一

• 考慮根號分治，設 $S = \sqrt{n}$。
• 對於 $> S$ 的數，設 $g_{i,j}$ 表示選了 $i$ 個數總和爲 $i(S+1) + j$ 的方案數，轉移有兩種：
  1. 新加入一個數，初始值爲 $S + 1$：$g_{i,j} += g_{i - 1, j}$；
  2. 給之前選的所有數 +1： $g_{i,j} += g_{i,j - i}$。
• 不難發現，這樣轉移對於每一種拆分都有唯一的構造方式，並且第一維只有 $\mathcal O( \sqrt{n})$ 級別，時間複雜度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。
• 求出 $>S$ 的數的 $\text{DP}$ 數組後，對於 $\le S$ 的數，暴力揹包 $\text{DP}$ 即可，總的時間複雜度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。
• 這應該是最爲通用的做法，常數也比較小。

算法二

• 令 $f_0 = 1$，考慮 $f_i$ 的生成函數
  $\begin{aligned} F(x) &= \sum \limits_{i = 0}^{\infty}f_ix^i \\ &= \prod \limits_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^i}\\ &= \exp\left(\sum \limits_{i = 1}^{\infty} \ln \frac{1}{1-x^i}\right)\\ \end{aligned}$
• 注意到
  $\begin{aligned} \ln \frac{1}{1 - x^i} &= \int (1 - x^i)\left(\frac{1}{1 - x^i}\right)' dx\\ &= \sum \limits_{j = 1}^{\infty}x^{ij} - \sum \limits_{j = 2}^{\infty}\frac{j - 1}{j}x^{ij}\\ &= \sum \limits_{j = 1}^{\infty}\frac{x^{ij}}{j}\\ \end{aligned}$
• 所以
  $\begin{aligned} F(x) = \exp\left(\sum \limits_{i = 1}^{\infty}\sum \limits_{j = 1}^{\infty} \frac{x^{ij}}{j}\right)\\ \end{aligned}$
• 可以 $\mathcal O(n \ln n)$ 預處理出內部係數，再 $\exp$ 回去。
• 總的時間複雜度 $\mathcal O(n \log n)$。

算法三

• 還是算法二中的生成函數，由 五邊形數定理 得：
  $\begin{aligned} \phi(x) = \prod \limits_{i = 1}^{\infty} (1 - x^i) = 1 + \sum \limits_{k = 1}^{\infty}(-1)^kx^{\frac{k(3k - 1)}{2}} \end{aligned}$
• 這裏直接引用 visit_world博客中的證明。
• 由於 $\phi(x)F(x) = 1$，可以直接多項式求逆，時間複雜度 $\mathcal O(n \log n)$。
• 還有一種更簡單的方法， 注意到 $\phi(x)(\mod x^{n + 1})$ 中係數不爲 $0$ 的項只有 $\mathcal O(\sqrt{n})$ 個，暴力模擬求逆即可，時間複雜度 $\mathcal O(n \sqrt{n})$。