密码学系列 - 椭圆曲线 ECDSA - 签名与验签

数字签名的生成

假设Alice要给Bob发一个经过数字签名的消息，他们首先需要定义一组共同接受的椭圆曲线加密用参数，简单的，这组参数可表示为 (CURVE, G, n)
其中，CURVE表示椭圆曲线点域和几何方程；G是所有点倍积运算的基点；n是该椭圆曲线的可倍积阶数(multiplicative order)，作为一个很大的质数，n的几何意义在于，nG = 0，即点倍积nG的结果不存在，而对于小于n的任何一个正整数 m = [1，n-1]，点倍积mG都可以得到一个合理的处于该椭圆曲线上的点。

其次，Alice要创建一对钥，即一个私钥和一个公钥。私钥来自于[1, n-1]范围内一个随机数：dA = rand(1, n-1)
公钥如下，它来自私钥和基点的椭圆曲线点倍积：QA = dA X G

Alice想要对消息m作数字签名，有以下步骤:

1. 计算 e = HASH(m)，HASH是一个哈希加密函数，比如SHA-2，或SHA-3。
2. 计算 z，来自e的二进制形式下最左边（即最高位）L_n个bits，而L_n是上述椭圆曲线参数中的可倍积阶数n的二进制长度。注意z 可能大于n，但长度绝对不会比 n 更长。
3. 从 [1, n-1] 内，随机选择一个符合加密学随机安全性的整数k。
4. 计算一个椭圆曲线上点：(x1, y1) = k X G
5. 以下式计算 r 值， 如果r == 0, 则返回步骤3重新计算 r = x1 mod n
6. 以下式计算 s 值，如果 s == 0，则返回步骤3重新计算
   
7. 生成的数字签名就是 (r, s)

Alice 用自己的私钥和随机数 k 签名了哈希值 z。Bob 用 Alice 的公钥来验证签名的正确性

特别需要注意的是步骤3中 k 的选择，它不仅要满足加密学的随机安全性要求，要像私钥一样保护起来，更重要的是，在每次生成一个新的数字签名时，这个 k 必须每次都要更新。否则，通过上述数字签名过程中的算式相互换算，很容易从中破译出私钥！具体换算过程可见wiki_ECDSA。
ECDSA签名可能泄漏私钥的另一种方式是 {\ displaystyle k}ķ是由错误的随机数发生器产生的。这样的随机数生成失败导致Android比特币钱包的用户在2013年8月损失了资金

数字签名的验证

对于消息的接收方Bob来说，他除了收到数字签名文件外，还会有一份公钥。所以Bob的验证分两部分，首先验证公钥，然后验证签名文件(r, s)。

公钥的验证

1. 公钥QA的座标应是有效的，不会等于一个极限值空点O
2. 通过公钥QA的座标验证它必须是处于该椭圆曲线上的点。
3. 应有下式成立，即曲线的可倍积阶数 n 与公钥的点倍积不存在
   

签名文件的验证

1. 验证 r 和 s 均是处于[1, n-1]范围内的整型数；否则验证失败
2. 计算 e = HASH(m)，HASH()即签名生成过程步骤1中使用的哈希函数。
3. 计算 z，来自 e的最左边L_n个bits
4. 计算两个参数 u1 和 u2：
   
   
5. 计算(x1, y1)，如果(x1, y1)不是一个椭圆曲线上的点，则验证失败：
   
6. 如果下面等式成立, 则签名有效
   

公钥恢复

收到消息m 和爱丽丝的签名r，s，在该消息上，Bob可以（可能）恢复Alice的公钥：

1. 验证 r 和 s 是整数 [1，n-1] 。如果不是，则签名无效。
2. 计算曲线点 R=(x1, y1) , x1是其中之一 r, r+n, r+2n等（提供的x1对于字段元素来说不是太大), y1是是满足曲线方程式的值。
   请注意，可能有几个满足这些条件的曲线点，每个曲线点都不同 R 值将产生一个不同的已恢复密钥。
3. 计算 e = HASH(m)，HASH()即签名生成过程步骤1中使用的哈希函数。
4. 计算 z，来自 e的最左边L_n个bits
5. 计算两个参数 u1 和 u2：
   
   
6. 计算曲线点
   
7. 如果QA匹配Alice的公钥, 则签名有效
8. 如果尝试了所有可能的R点且没有匹配Alice的公钥，则签名无效。

请注意，无效的签名或来自其他消息的签名将导致恢复不正确的公钥。如果事先知道签名者的公钥（或其哈希），则恢复算法只能用于检查签名的有效性。

公式推导请参考: wiki_ECDSA

公链签名与验签算法

	摘要生成	签名算法	签名数据格式	验签算法
BTC	SHA256	ECDSA-secp256k1	BIP66之后采用DER编码. 0x30 [total-length] 0x02 [R-length] [R] 0x02 [S-length] [S]	verify模式 OP_CHECKSIG ECDSA_CheckSignature (pubKeyStr,sigStr, sha256(sha256(verifyThisStr)))
ETH	SHA3-Keccack	ECDSA-secp256k1	(R,S,V) V是recid, 为0或者1, v := sig[0] - 27	recove模式 pub, err := crypto.Ecrecover(sighash[:], sig)
EOS	SHA256	ECDSA-secp256k1|r1	(V,R,S) V中带了recid v: 27 + 4 + recid, 从签名中提取出recove id: V - 4 - 27	recove模式 recov = public_key_type( sig, digest )

公链 ECDSA 验签方式

用公钥去verify的方式:

1. BTC :
   
   ECDSA_CheckSignature(pubKeyStr,sigStr,sha256(sha256(verifyThisStr)))

   (参考资料: https://en.bitcoin.it/wiki/File:Bitcoin_OpCheckSig_InDetail.png )

2. Hyperledger Fabric
   
   valid, err := id.msp.bccsp.Verify([id.pk](http://id.pk/), sig, digest, nil)
   

   (参考资料: https://blog.csdn.net/idsuf698987/article/details/81677133 )

recove出公钥的方式:

1. ETH
   pub, err := crypto.Ecrecover(sighash[:], sig) //摘自源码
2. EOS
   recov = public_key_type( sig, digest ) //摘自源码

参考: Elliptic Curve Cryptography: ECDH and ECDSA