Question：設函數T = transl(x,y,z)，創建SE3平移變換。H = transl (0.5 0 0) = ? SE3變換的目的是什麼？
解：三維齊次矩陣 
目的：在配置空間用齊次矩陣求解機器人的平移和旋轉變換。
1、李羣與李代數
李羣SE(3) 是旋轉加上位移，也稱歐式變換、剛體變換，一般我們用矩陣
2、歐拉角（Euler angles）定義：用來確實定點轉動剛體位置的三個角向量
若令Ox'y'z'的原始位置重合於Oxyz，經過相繼繞Oz、ON和Oz'的三次轉動Z（ψ）、N（θ）、Z'（φ）後，剛體將轉到圖示的任意位置（見剛體定點轉動）。變換關係可寫爲：
R（ψ,θ,φ）=Z'（φ）N（θ）Z（φ）
應用：在剛體的問題上，xyz座標系是全局座標系， XYZ 座標系是局部座標系。全局座標系是不動的；而局部座標系牢嵌於剛體內。
3、叉乘與點乘
點乘，也叫數量積。結果是一個向量在另一個向量方向上投影的長度，是一個標量。
叉乘，也叫向量積。結果是一個和已有兩個向量都垂直的向量。方向的判定採用右手法則。
4、剛體變換（歐式變換）
只有物體的位置(平移變換)和朝向(旋轉變換)發生改變，而形狀不變，得到的變換稱爲剛性變換。剛性變換是最一般的變換。
5、齊次座標系與齊次矩陣
齊次座標使用N+1維座標來表示N維座標，例如在2D笛卡爾座標系中加上額外變量w來形成2D齊次座標系(x,y)⇒(x,y,w) 。齊次座標具有規模不變性，同一點可以被無數個齊次座標表達.(x,y,1)⇒(ax,ay,a) 齊次座標轉化爲笛卡爾座標可以通過同除最後一項得到。爲什麼要引入齊次座標系。簡單的理解就是可以使用矩陣同時描述旋轉和平移，這樣就可以使用矩陣相乘來表述物體的旋轉、縮放和平移了。
齊次座標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。
參考：https://blog.csdn.net/winbobob/article/details/38829001 齊次座標(Homogeneous Coordinate)的理解
https://www.cnblogs.com/csyisong/archive/2008/12/09/1351372.html
齊次矩陣可以描述剛體在空間中的位姿，也可以描述位姿變換過程：
(1, 4, 7)'如果寫成(1,4,7,0)'，它就是個向量；如果是(1,4,7,1)'，(2,8,14,2)'它就是一個點。
座標軸的齊次座標: (1,0,0,0)' (0,1,0,0)'(0,0,1,0)
齊次座標系下剛體變換：（平移、旋轉、繞定點旋轉：）
6、內積：對任意的
爲代數定義，另有幾何定義。
7、歐式空間：在實數域R上，線性空間V（或向量空間）上定義着內積g，則V爲g的內積空間或歐式空間。
簡而言之，歐氏空間就是具有了內積的線性空間。線性空間引入內積的目的是爲了能夠計算兩點間的距離和夾角。或者說爲了線性空間解析和度量。
具體的，參考宮非大佬的解釋：https://www.zhihu.com/question/27903807?sort=created
8、非歐空間： 自然界存在着兩種基本空間，歐氏空間和非歐空間，歐氏空間有不變的幾何中心，是自然界的骨架。非歐空間是“彎曲的”， 非歐空間的面是曲面。
非歐幾何，愛因斯坦曾經形象地說明過：假定存在一種二維扁平智能生物，但它們不是生活在絕對的平面上，而是生活在一個球面上，那麼，當它們在小範圍研究圓周率的時候，會跟我們一樣發現圓周率是3.14159……可是，如果它們畫一個很大的圓，去測量圓的周長和半徑，就會發現周長小於2πr，圓越大，周長比2πr小得越多，爲了能夠適用於大範圍的研究，它們就必須修正它們的幾何方法。如果空間有四維，而我們生活在三維空間中，而這個三維空間在空間的第四個維度中發生了彎曲，我們的幾何就會象那個球面上的扁平智能生物一樣，感受不到第四維的存在，但我們的幾何必須進行修正，這就是非歐幾何。在非歐幾何中，平行的直線只在局部平行，就象地球的經線只在赤道上平行。
閔可夫斯基空間屬於歐幾里得幾何的擴展，它是把時間也作爲一個維度進行量化，再添加光速係數，跟洛倫茲變換一樣，使得不同慣性系中的運動問題計算得以簡化。
9、標準歐式口空間：四維空間被稱爲標準歐幾里得空間，可以拓展到n維。人類作爲三維物體可以理解四維時空（三個空間維度和一個時間維度）但無法認識以及存在於四維空間，因爲人類屬於第三個空間維度生物。通常所說時間是第四維即四維時空下的時間維度。四維空間的第四維指與x，y，z同一性質的空間維度。
10、解析幾何：解析幾何指藉助笛卡爾座標系（“平面直角座標系”或“ 空間直角座標系”），用解析式來研究幾何對象之間的關係和性質。
解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。解析幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，是數學發展史上的一次重大突破。在平面解析幾何中，除了研究直線的有關性質外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面。
11、笛卡爾座標系（直角座標系）：笛卡爾座標系是歐氏空間座標系的一種具體實現形式。
12、構築空間（配置空間，關節空間（近似））：
參考文章：https://www.zhihu.com/question/60108896/answer/224251293
配置空間一般指運動機構輸出的位置量。例如機械臂，配置空間就是所有關節角度位置的空間。一個機械臂有兩個關節，那配置空間就是二維的線性空間，即
在配置空間做軌跡規劃的優點：
第一、求機器人的運行軌跡，執行機構是在配置空間進行，如控制機械臂運動的方法是直接控制關節電機的角度，而不是直接控制關節的位置。所以在配置空間上規劃路線非常方便執行，不需要轉換。
第二、很多機構的運動限制是在配置空間描述的，比如關節電機的最大角度、關節電機的最大角速度等，在配置控制進行規劃也方便考慮這些限制。
第三、配置空間與工作空間互相轉換（正逆運動學）的不對稱。正運動學存在解析解且唯一，非常容易計算且計算速度非常快。而逆運動學對於簡單的機械臂結構也是很難的問題，不一定存在解（比如你後背上的某些地方你的手抓不到），存在解也不一定爲唯一（你抓前面的點有多重手臂姿勢可以抓），還存在奇點等情況。求解軌跡是需要同時考慮配置空間和工作空間，所以傾向於在配置空間上進行求解，需要時轉換到工作空間，而不是做難度大的多的相反過程。
13、奇異點、關節限制、約束等概念與路徑規劃
（1）機器臂的運動規劃可以分爲兩個層面：一是笛卡爾空間的路徑規劃（末端位姿）；一是關節空間的運動參數設計（機器人構型）。實際作業中，機器人需要綜合考慮碰撞檢測、奇異點回避、工作空間限制、軸超限保護等約束條件，更嚴格的還應考慮運動的平穩性（主要取決於關節速度、加速度）、關節力矩和關節力約束等等。
參考文獻：https://www.zhihu.com/question/22292611/answer/120145152 回答者：fq-shine
（2）奇點是機器人逆運動學引起的。奇點時，機器人到達某一位置有無數種解。奇點造成器械臂重啓。
參考文獻：http://www.360doc.com/content/16/0307/09/1751130_540133919.shtml 三類奇點