寫在前面：
因爲本人初學科學計算這一塊，這兩天遇到了卷積的問題，有點琢磨不透，就瞭解了一下卷積的計算過程及使用場景，因爲時間太短，這裏只能寫下一點點個人的心得體會，希望大家多多包函與指教。
一、卷積公式
由於還沒學習到二維卷積，所以我們這裏只進行一維卷積的討論。
- 離散卷積：
離散的數據，就好比是我們平時的考試成績（0,1,2,…,100），離散卷積的公式如下：
![離散卷積公式]()
這裏i的定義域爲負無窮到正無窮，當然具體的問題要具體分析，比如成績（100分滿分），那麼i的定義域就是（0-100）。 - 連續卷積：
連續的數據，我們還是說成績，但是這個老師比較牛*，他打分甚至可以個給你打根號，也就是說是0-100之間的所有實數。連續卷積的公式如下：
![連續卷積公式]()
這裏定積分的下限是負無窮，上限是正無窮，同理，還是具體情況具體分析，如果還是那個打分情況，那麼就是下限爲0，上限爲100。
注：這裏的*是卷積的符號，不是乘法。 - 公式說明：
我們可以從這兩個公式中發現一個情況，就是無論是離散情況還是連續情況，都會有n = i + (n - i)和t = τ + (t - τ)，那麼這個問題我們後續在卷積翻轉的時候再說明。
二、卷積的翻轉和平移
1.卷積的翻轉
卷積的翻轉也即“卷”字的由來，由於本人技術有限繪製不了git圖，所以這裏用靜態圖片說明。
我們先講解離散的情況（主要是連續的圖太難畫了嗚嗚嗚）。我們以小學教學爲例，只有語文和數學，各科滿分100，且兩者是相互獨立的，互不干擾，那麼假設小明總分195分，於是小明會有如下幾個情況：
- 語文：95分；數學：100分。(出現的概率：g(195) = c(95) · m(100))
- 語文：96分；數學：99分。(出現的概率：g(195) = c(96) · m(99))
- 語文：97分；數學：98分。(出現的概率：g(195) = c(97) · m(98))
- 語文：98分；數學：97分。(出現的概率：g(195) = c(98) · m(97))
- 語文：99分；數學：96分。(出現的概率：g(195) = c(99) · m(96))
- 語文：100分；數學：95分。(出現的概率：g(195) = c(100) · m(95))
那麼所有的概率即上述六個的求和，也即離散的那個公式。相應的圖示如下：
從上面的圖看出這個線條錯綜複雜，是不是和你早上起來枕頭上的頭髮一樣凌亂，所以這裏使用卷積的“卷”，對“語文”進行翻轉，讓他看的清晰一些。如下圖所示：
這樣的線條不凌亂了，但是數字還是倒着的，所以再對每個數字翻轉一次。如下圖所示：
這樣那麼卷積的翻轉就完成了，接下來就是卷積的平移問題。
2.卷積的平移
我們剛剛討論的是195分的情況，那麼如果是196分、197分甚至200分呢？那麼就是上面（或者下面）的框框平移的過程了。如果學過計算機網絡的同學，可以類比一下停止等待協議裏面的滑動窗口，比較方便理解。
那麼來到196分，196分的情況就比之前少了一種，各種情況分別是：
- 語文：96分；數學：100分。(出現的概率：g(196) = c(96) · m(100))
- 語文：97分；數學：99分。(出現的概率：g(196) = c(97) · m(99))
- 語文：98分；數學：98分。(出現的概率：g(196) = c(98) · m(98))
- 語文：99分；數學：97分。(出現的概率：g(196) = c(99) · m(97))
- 語文：100分；數學：96分。(出現的概率：g(196) = c(100) · m(96))
而對應的翻轉後的圖片如下：
同理，當我們牛*轟轟的小明同學來到200分時，就只剩下唯一一種情況了：
- 語文：100分；數學：100分。（出現的概率：g(200) = c(100) · m(100)）
而對應翻轉後的圖片如下：
我們就先假設小明考的總分從0-200都是等概率事件（即每個數字權重都相同），由於我們是從195分舉例的，但是實際上總分爲0也是可能出現的，所以整個窗口是從0-0一直移動至100-100爲止，這就是平移，當然這裏也會涉及到邊緣效應的問題，下面再談。
上面說的都是離散的情況，但是連續的情況也是同樣的操作方式，而學習過高數的同學都懂，連續的情況無非就是求兩個部分的面積總和。
三、卷積的計算方法
這裏我們還是用離散的數據進行計算說明（主要還是積分看着都頭大），當然100這個數據太大了，我們就另外取兩個一維數組來計算，數組如下：
翻轉後的數組如下：
首先我們重溫一下離散的卷積公式：
第一步我們要求n的值，我們看到arr_1有3個數據，arr_2有4個數據，所以n = 3 + 4 = 7。7就有以下6種情況構成：
- 1 + 6
- 2 + 5
- 3 + 4
- 4 + 3
- 5 + 2
- 6 + 1
那麼也就可以說明我們要平移6次，我這裏詳細講解每一次的過程。
第一次，也就是1對應1的時候，圖片如下：
這時候我們執行x(i) · h(n - i)獲得結果爲1，因爲就這麼一個數據，所以求和後依舊爲1，所以這時候卷積之後的數組中有了第一個數[1]。
第二次，也就是2對應1,1對應2的情況，圖片如下：
同理，執行x(i) · h(n - i)獲得結果分別爲2與2，求和之後爲4，於是數組中有了第二個數，現在數組是[1 4]。
第三次，這時候我們發現arr_1和arr_2完全重疊了，關於重疊的問題下面和邊緣效應一起討論，圖片如下：
執行公式後，數據分別爲3、4、3，求和後數據爲10，數組繼續添加，爲[1 4 10]。
依次執行相同步驟後，來到最後一步，就是3與4對應的時候，圖片如下：
這時候只有一個數據了，得到12，添加至數組，數組也就完滿了，數組爲[1 4 10 16 17 12]，卷積也就到此結束了。
四、卷積的邊緣效應
由於本人查閱了相關資料，也沒得到比較好的解答（也有可能是我不會查資料），所以我這裏就粗略、淺顯的談一談我對邊緣效應的理解。
從圖片來看，那麼邊緣效應指的就是兩個數組沒有完全重疊在一起的部分，如果用剛剛[1 2 3]和[1 2 3 4]的例子來說，那麼重疊的部分就只有2種情況，即：
也就是說，其餘的4種情況全存在邊緣效應，也就是說會或多或少影響到數據。就好比我們燒了一盆書，還一直在往裏面丟書，我們想知道某一時刻的溫度與燒了的書的關係，但是之前還有一些書沒有燒透徹，還可以提供點點火星，那是不是會對溫度的測量造成點點誤差？
五、卷積的實際意義
我們從一個系統來思考，只要系統不是及時響應的，那麼我們在輸入一個衝擊的時候，會因爲系統中的某些不可抗拒的因素影響到整個過程，而我們想求其中某個過程狀態的時候就需要卷積。
就還是拿剛剛燒書的過程來說，我們將書丟進火裏面就是一個衝擊，但是之前還有些星星火會影響到現在的情況，也就是過去的東西會影響到現在；或者說我們喫飯的問題，比如我們早飯喫多了或者喫晚了，那麼我們午飯就會喫得少或者也喫的晚，這就是卷積的實際使用場景，反映了一個變化情況的過程。
由於我也還在門口徘徊，所以要具體拿來相關的例子還是十分困難的嗚嗚嗚。
六、convolve說明
convolve(a, v, mode='full')
Parameters
----------
a : (N,) array_like
First one-dimensional input array.
v : (M,) array_like
Second one-dimensional input array.
mode : {'full', 'valid', 'same'}, optional
'full':
By default, mode is 'full'. This returns the convolution
at each point of overlap, with an output shape of (N+M-1,). At
the end-points of the convolution, the signals do not overlap
completely, and boundary effects may be seen.
'same':
Mode 'same' returns output of length ``max(M, N)``. Boundary
effects are still visible.
'valid':
Mode 'valid' returns output of length
``max(M, N) - min(M, N) + 1``. The convolution product is only given
for points where the signals overlap completely. Values outside
the signal boundary have no effect.
這是numpy中convolve函數的源碼中的註釋，我用我蹩腳的英語翻譯能力+翻譯工具簡單說明一下，傳入的參數有3個，a、v、mode，其中a、v是必填的，mode是選填的，默認值爲full。
a：第一個輸入的一維數組。
v：第二個輸入的一維數組。
mode：模式，共有3種，“full”，“same”，“valid”，默認full。
- full：默認模式，返回的是每個重疊點的卷積，卷積的輸出形狀爲（N + M - 1），在卷積的端點信號不完全重疊，且存在邊緣效應。
說明：這就是我們剛剛討論的那種情況，N就是len(a)，M就是len(v)，存在的邊緣效應看第三大點與第四大點也能夠理解。 - same：返回的是M和N中最大值的，依舊存在邊界效應。
說明：由於本人看源碼技術還不夠熟練，所以我只能在做測試的時候發現，最大值的取法就是從無邊緣效應的部分開始向外擴展。 - valid：返回的就是信號重疊區域的卷積，不會返回存在邊緣效應的部分，返回的長度爲max(M, N) - min(M, N) + 1。
七、參考
[1] Ivan Idris.python數據分析基礎教程NumPy學習指南（第2版）〔M〕.人民郵電出版社,2014:54-58.
[2] QLMX.numpy中的convolve的理解.CSDN,2017
[3] 小元老師.【小動畫】徹底理解卷積【超形象】卷的由來，小元老師.嗶哩嗶哩.2020