Python入門習題（93）——OpenJudge百練習題：數字方格

題目描述

來源
OpenJudge網站 —— 百練習題集-第4146號習題

要求
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描述

如上圖，有3個方格，每個方格里面都有一個整數a1，a2，a3。已知0 <= a1, a2, a3 <= n，而且a1 + a2是2的倍數，a2 + a3是3的倍數， a1 + a2 + a3是5的倍數。你的任務是找到一組a1，a2，a3，使得a1 + a2 + a3最大。

輸入
一行，包含一個整數n (0 <= n <= 100)。
輸出
一個整數，即a1 + a2 + a3的最大值。
樣例輸入
3
樣例輸出
5

解題思路

下面介紹兩種解法。第一種解法比第二種解法效率高，大致快4-5倍。

解法一的思路

1. a1 + a2 + a3的和最大不會超過3 * n。由於和是5的倍數，所以最大是$\lfloor(3 * n) / 5 \rfloor$。最小是0。因此，和的取值只能是0, 5, 10, 15, …, $\lfloor(3 * n) / 5 \rfloor$ 中的一個。

2. 令top_5 = $\lfloor(3 * n) / 5 \rfloor$，t_5 = a1 + a2 + a3。

3. t_5依次取$\lfloor(3 * n) / 5 \rfloor$, …, 15, 10, 5, 0 。對於每一個t_5，我們窮舉a2, a3的可能組合，找滿足如下條件的組合：
   　　(a2 + a3) % 3 == 0 and (t_5 - a3) % 2 == 0 and (t_5 - a2 - a3) <= n
   這裏，t_5 - a3正是a1 + a2，t_5 - a2 -a3正是a1。

4. 一旦找到滿足上述條件的t_5, a2, a3組合，我們就找到了和最大的解，正是t_5 。輸出結果後，程序無需繼續尋找，可以結束了。

解法二的思路

1. a1依次取n, n-1, …, 0；對於每一個a1，a2依次取n, n-1, …, 0；對於每一組a1, a2，a3依次取n, n-1, …, 0，這樣窮舉了a1, a2, a3的所有組合。
2. 對於滿足“a1 + a2是2的倍數，a2 + a3是3的倍數， a1 + a2 + a3是5的倍數“的組合，求出a1 + a2 + a3之和，找出最大的和即爲結果。
3. 由於n<=100，因此上述第1點會重複100 * 100 * 100 =10⁶次，可以接受。

參考答案

解法一的參考答案

n = int(input())
top_5 = (3 * n) // 5 * 5
for t_5 in range(top_5, -1, -5):
    for a2 in range(n, -1, -1):
        a3_start = min(n, t_5 - a2)  #a2 + a3 <= t_5 (=a1 + a2 + a3)
        for a3 in range(a3_start, -1, -1):
            if (a2 + a3) % 3 == 0 and (t_5 - a3) % 2 == 0 and (t_5 - a2 - a3) <= n:
                print(t_5)  #找到的第一個就是和最大的解
                exit(0)  #結束程序。

解法二的參考答案

n = int(input())

total = 0
for a1 in range(n, -1, -1):
    for a2 in range(n, -1, -1):
        for a3 in range(n, -1, -1):
            if (a1 + a2) % 2 == 0 and (a2 + a3) % 3 == 0 and (a1+a2+a3) % 5 == 0 and a1+a2+a3 > total:
                total = a1 + a2 + a3  #找到更大的和

print(total)

測試用例

1. 題目給出的測試用例覆蓋了n較小的情形。

2. n=2。
   樣例輸入
   2
   樣例輸出
   5
   說明：a1=2, a2=2, a3=1

3. n=100。
   樣例輸入
   100
   樣例輸出
   295
   說明：a1=100, a2=100, a3=95。易知結果爲300是不成立的，接下來就是295，沒問題。

4. n=0 。
   樣例輸入
   0
   樣例輸出
   0

5. n=1 。
   樣例輸入
   0
   樣例輸出
   0

小結

1. 第一種解法比第二種解法效率高。原因在於：第一種解法在找到第一個滿足要求的組合就結束了，而第二種解法需要窮舉全部組合。