數學原理-高等數學複習筆記 ——1.1 泰勒公式 泰勒展開式

（注 ：需理解 有限增量定理 即拉格朗日中值定理 ：https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B8%AD%E5%80%BC）

第一次見到泰勒展開式的時候，我是崩潰的。泰勒公式長這樣：

好奇泰勒是怎麼想出來的，我想，得儘量還原公式發明的過程才能很好的理解它。

首先得問一個問題：泰勒當年爲什麼要發明這條公式？

因爲當時數學界對簡單函數的研究和應用已經趨於成熟，而複雜函數，比如：這種一看就頭疼的函數，還有那種根本就找不到表達式的曲線。除了代入一個x可以得到它的y，就啥事都很難幹了。所以泰勒同學就迎難而上！決定讓這些式子統統現出原形，統統變簡單。

讓我們沿着泰勒同學（假裝泰勒是這麼想的）的思路來：

要讓一個複雜函數變簡單，能不能把它轉換成別的表達式？比如函數，怎麼看都看不出思路，怎麼辦呢？我們先不要一口喫掉它，可以先從它最小的部分算起，比如說一個點。可以得到：。暫時看不出有什麼規律。

那就繼續增大研究的對象，比如說的領域，。可以得到：，其中，，。好像還是看不出什麼規律？然鵝，聰明的泰勒早以看穿一切。

因爲，所以原式可以化爲：。所以泰勒想是不是這樣：，即。嗯先假設是這樣，然後泰勒同學決定驗證一下。

先求個導試試：。對了，泰勒同學很激動！繼續求：，咦，不對了。那說明有了一些問題。仔細分析一下問題在哪呢？

我們可以嘗試把拆開來：，然後分析他們之間有什麼共性。

讓我們對進行求導看看：

一階導：，嗯多了個。

二階導：，多了。好像有點規律了，

......

m階導：

 

階導：0。是一個常數，所以對求導就是0了。

這裏規律很明顯了，m階導以後都是0！但是m階導以前呢？還是蠻複雜的，不過不用擔心，因爲，即，所以m階導以前也都是0，而m階導就是。perfect！

這樣就很清晰了：對求m階導爲。但是我們想要的值是，那就把給m!除掉！

即乘於一個，所以，證明完畢。泰勒同學很開心！