Median of Two Sorted Arrays(寻找两个有序数组的中位数)

题目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

题意

给定两个有序数组，且并不都为空，找出两个有序数组的中位数，要求时间复杂度是O(log(m+n))。

分析

【方法1】最暴力的解法是将两个数组合并为一个，然后找中位数，该方法的时间复杂度是O(m+n)，不符合题意，遂弃之。

【方法2】看到时间复杂度要求，可以想到使用二分查找法。于是就有了如下的解决思路：

假设两个数组分别为A和B，A数组的元素个数为m，B数组的元素个数为n。

在A数组的随机位置将数组A分成两部分，即left_A | right_A，A数组即: A[0], A[1], ...，A[i-1], A[i], A[i+1]，...,  A[m-1]。因为A有m个元素，所以共有m+1种切割方法(i = 0 ~ m)，其中：left_A.size() = i，right_A.size() = m-i。i = 0 时，left_A.size() = 0； i = m时，right_A.size() = m。

在B数组也做类似的操作：left_B | right_B，B数组：B[0], B[1], ..., B[j-1], B[j], B[j+1],  ..., B[n-1]。

将left_A和left_B放入一个集合，right_A和right_B放入另一个集合。分别命名为left_part和right_part：left_part | right_part。

A[0], A[1], ...，A[i-1], A[i], A[i+1]，...， A[m-1]

B[0], B[1], ...,  B[j-1], B[j], B[j+1],   ...,   B[n-1]

如果可以保证：

(1) left_part.size() == right_part.size()

(2) max(left_part) <= min(right_part)

那么将{A，B}中的所有元素划分为两个长度相等的部分，一个部分总是大于另一个部分。然后中值 = (max(left_part) + min(right_part))/2。

为了确保这个条件，只需要确保两个条件：

(1）i + j = m-i + n - j（或：m-i + n- j + 1）

如果n>=m,则i = 0 ~m，j = (m+n+1)/2 - i

[tips]为什么要确保n>=m，因为必须确保 j 是合法索引，因为 0<=i<=m 和 j = (m+n+1)/2 - i，如果n<m，则 j 可以是负数，这将导致错误的结果。

(2) B[j-1] <= A[i] 并且A[i-1] <= B[j]

 

在[0,m]中搜索i，找到一个切分点i (j = (m + n + 1)/2 - i)：使得B[j-1] <= A[i]和A[i-1] <= B[j]。可以按照以下步骤进行搜索：

① 设置imin = 0，imax = m，然后开始搜索[imin, imax]；

②设置i = (imin + imax)/2， j = （m+n+1)/2- i；

③现在left_part.size() = right_part.size()，而且只有三种情况：

(1) B[j-1] <= A[i] 和 A[i-1] <= B[j]，意味着找到了切分点i，停止搜索。

(2) B[j-1] > A[i]，意味着A[i]太小，必须调整i 得到B[j-1] <= A[i]。只能增加i，因为当i减小时j将增加，因此B[j-1]增加并且A[i]减小，永远不会满足。所以调整搜索范围为[i+1，imax]，即imin = i+1,然后回到第②步。

(3)A[i-1] > B[j]，意味着A[i-1]太大，必须减小 i 得到A[i-1] <= B[j]。因此设置imax = i -1，然后回到第②步。

当找到切分点i时，中值为：

• 当m+n为奇数时，中值为max(A[i-1], B[j-1])
• 当m+n为偶数时，中值为((max(A[i-1], B[j-1]) + min(A[i], B[i]))/2

C++代码实现：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int len1 = nums1.size();
        int len2 = nums2.size();
        //printf("len1 = %d, len2 = %d\n", len1, len2);
        if(len1 == 0 && len2 > 0) {
            if(len2 % 2 == 0)
                return (nums2[len2/2] + nums2[len2/2 - 1])/2.0;
            else
                return nums2[len2/2];
        } else if (len2 == 0 && len1 > 0) {
            if(len1 % 2 == 0)
                return (nums1[len1/2] + nums1[len1/2 - 1])/2.0;
            else
                return nums1[len1/2];
        }

        if(len1 > len2) {
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        }

        int imin = 0, imax = len1;
        int i,j;
       // printf("imax = %d\n", imax);
        int left_part_max;
        int right_part_min;
        while(imin <= imax) {
            i = imin + (imax - imin)/2;
            j = (len1 + len2 + 1)/2 - i;
           // printf("i = %d, j = %d\n", i, j);
           // printf("nums1[i-1]=%d,nums2[j]=%d,nums2[j-1]=%d,nums1[i]=%d\n");
            if (i < len1 && j > 0 && nums2[j-1] > nums1[i]) {
           //     printf("Adjust imin!\n");
                imin = i + 1;

            } else if (i > 0 && j < len2 && nums1[i-1] > nums2[j]) {
           //     printf("Adjust imax!\n");
                imax = i - 1;
            } else {
                if(i == 0)
                    left_part_max = nums2[j-1];
                else if(j == 0)
                    left_part_max = nums1[i-1];
                else
                    left_part_max = nums1[i-1] > nums2[j-1]? nums1[i-1]:nums2[j-1];
                break;
            }
        }

        if((len1 + len2) % 2 != 0) {
            return left_part_max;
        }
        if(i == len1) {
            right_part_min = nums2[j];
        } else if(j == len2) {
            right_part_min = nums1[i];
        } else {
            right_part_min = nums1[i] < nums2[j]? nums1[i]:nums2[j];
        }
        return (left_part_max + right_part_min)/2.0;
    }
};

【方法3】算法半岛主页
从题目可以知道，需要让我们在两个有序数组中找中位数。我们先分析一个有序数组的中位数，当有序数组的个数为奇数时，如nums=[1, 2, 3, 4, 5]，该数组的中位数为nums[2]=3；当有序数组的个数为偶数时，如nums=[1, 2, 3, 4, 5, 6]，该数组的中位数为(nums[2]+nums[3])/2=3.5。如图1所示，我们用同一公式可求出任意个数有序数组的中位数。

理解一个有序数组中位数求解过程后，对于两个有序数组来说，我们只要找出第(m+n+1)/2大的数和第(m+n+2)/2大的数，然后求平均数即可。注意这里的第(m+n+1)/2大的数中m和n分别指两个数组的大小，m+n如图1中的nums.length，第(m+n+1)/2大的数是指我们假设这两个数组组合成一个有序数组后找出第(m+n+1)/2大的数（这里为什么没有像图1中进行减1？因为我们这里说的第几大的数下标是从1开始的；而图1中需要减1是因为使用的数组，下标是从0开始的）。

接下来我们在这两个有序数组中找到第(m+n+1)/2大的数和第(m+n+2)/2大的数，抽象后可表述为在两个有序数组中找第k大的数。由于题目要求我们的时间复杂度为O(log(m+n))，我们很容易联想到二分查找。当查找时，我们还需要考虑一些特殊情况：(1) 当某个数组查找的起始位置大于等于该数组长度时，说明这个数组中的所有数已经被淘汰，则只需要在另一个数组找查找即可。(2)如果k=1时，即需要查找第一个数，则找到两个数组起始位置中最小的那个即可。处理完特殊情况后，我们来分析一般情况。这里所说的二分是指对数组的大小进行二分还是指对k进行二分。以前我们对一维数组进行二分查找时，一般都是对数组大小进行二分，而这里需要对k进行二分。意思是，我们需要在两个数组查找第k/2大的数，由于这两个数组的长度不定，有可能存在有一个数组中没有第k/2大的数，如果没有则赋值为整型最大值。

•  Java代码 -- 递归

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int m = nums1.length, n = nums2.length;
        int l = (m + n + 1) / 2;
        int r = (m + n + 2) / 2;
        return (getKth(nums1, 0, nums2, 0, l) + getKth(nums1, 0, nums2, 0, r)) / 2.0;
    }

    // 在两个有序数组中二分查找第k大元素
    private int getKth(int[] nums1, int start1, int[] nums2, int start2, int k){
        // 特殊情况(1):当某个数组查找的起始位置大于等于该数组长度时，说明这个数组中的所有数已经被淘汰，则只需要在另一个数组找查找即可
        if(start1 > nums1.length-1) return nums2[start2 + k - 1];
        if(start2 > nums2.length-1) return nums1[start1 + k - 1];
        // 特殊情况(2):如果k=1时，即需要查找第一个数，则找到两个数组起始位置中最小的那个即可
        if(k == 1) return Math.min(nums1[start1], nums2[start2]);
 
        // 分别在两个数组中查找第k/2个元素，若存在（即数组没有越界），标记为找到的值；若不存在，标记为整数最大值
        int nums1Mid = start1 + k/2 - 1 < nums1.length ? nums1[start1 + k/2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
        int nums2Mid = start2 + k/2 - 1 < nums2.length ? nums2[start2 + k/2 - 1] : Integer.MAX_VALUE;
 
        // 确定最终的第k/2个元素，然后递归查找
        if(nums1Mid < nums2Mid)
            return getKth(nums1, start1 + k/2, nums2, start2, k-k/2);
        else
            return getKth(nums1, start1, nums2, start2 + k/2, k-k/2);
    }
}

递归的层次比较深，如果数据足够大，用C++语言实现，可能会出现栈溢出，所以下面用了循环实现。

• C++代码实现 -- 循环

class Solution {
public:
    int findkth1 (vector<int>& nums1, int start1, vector<int>& nums2, int start2, int k) {
        while(k>1){
            if(start1 >(int)(nums1.size()-1)) return nums2[start2 + k -1];
            if(start2 >(int)(nums2.size()-1)) return nums1[start1 + k -1];
            int nums1mid = start1 + k/2 -1 < nums1.size() ? nums1[start1 + k/2 -1] : INT_MAX;
            int nums2mid = start2 + k/2 -1 < nums2.size() ? nums2[start2 + k/2 -1] : INT_MAX;

            if(nums1mid > nums2mid) start2 += k/2;
            else start1 += k/2;
            k -= k/2; //比较之后，砍去了k/2个数，原先要找第k大，所以现在就要找第k - k/2大
        }   
        if(start1 >(int)(nums1.size()-1)) return nums2[start2 + k -1];
        if(start2 > (int)(nums2.size()-1)) return nums1[start1 + k -1]; 
        if(1==k) return min(nums1[start1], nums2[start2]);
        return 0.0;
    }   
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int m = nums1.size();
        int n = nums2.size();
        // add l and r to choose thr lst and rst large data(not the subscript)
        int l = (m+n+1)/2;
        int r = (m+n+2)/2;
        return ((double)findkth1(nums1, 0, nums2, 0, l) + (double)findkth1(nums1, 0, nums2, 0, r))/2;
    }   
};