29-1 :從1 到n的整數中1出現的次數

一、題目
輸入一個整數n，求從1 到n這n個整數的十進制表示中1 出現的次數。
舉例說明：
例如輸入12 ，從1 到12 這些整數中包含1 的數字有1、10、11 和12，1 一共出現了5 次。
二、解題思路
第一種：不考慮時間效率的解法
累加1 到n 中每個整數中1出現的次數。我們可以每次通過對10 求餘數判斷整數的個位數字是不是1 。如果這個數字大於10，除以10 之後再判斷個位數字是不是1
　　如果是從頭到尾遍歷(n次)，對每一個數字都計算其1的個數（lgn次），則時間複雜度爲O(nlogn)，運算效率太低。因此必須總結規律，提高效率。

 public static int numberOf1Between1AndN(int n) {
        if (n < 0) {
            return 0;
        }
        int count = 0;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            count += numberOf1(i);
        }
        return count;
    }

    public static int numberOf1(int n) {
        int count = 0;
        while (n > 0) {
            count += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;
            n = n / 10;
        }

        return count;
    }

第二種：從數字規律着手明顯提高時間效率的解法

規律:

1：如果第i位（從低位向高位開始）上的數字是0，那麼第i位可能出現1的次數僅由更高位決定（如果沒有高位，則視高位爲0），等於更高位數字*當前位數的權重10^(i-1)；

2：如果第i位上的數字爲1，則第i位上可能出現1的次數不僅受更高位影響還受低位影響（如果沒有低位，則視低位爲0），等於更高位數字*當前位數的權重10^(i-1) + (低位數字+1)；

3：如果第i位上的數字大於1，則第i位上可能出現1的次數僅由更高位決定（如果沒有高位，則視高位爲0），等於（更高位數字+1）*當前位數的權重10^(i-1)。

原文鏈接：https://blog.csdn.net/u013132035/article/details/80768636

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以21354爲例，尋找1出現的次數：

個位：從1至21350中包含了2135個10，因此1出現了2135次，21351，21352，21353，21354其中21351包含了一個1，故個位出現1的次數爲：2135*10(1-1) + 1 = 2136次；

公式：( 2135+1）* 10^(1-1) = 2136；

十位：從1到21300中包含了213個100，因此1出現了213 * 10^(2-1) = 2130次，剩下的數字是21301到21354，它們的十位數字是5 > 1；因此它會包含10個1；故總數爲2130 + 10 = 2140次；

公式：（213 + 1）* 10^(2-1) = 2140次；

百位：從1到21000中包含了21個1000，因此1出現了21 * 10^(3-1) = 2100次，剩下的數字是21001到21354，它們的百位數字是3 > 1；因此它會包含100個1；故總數爲2100 + 100 = 2200次；

公式：（21 + 1）* 10^(3-1) = 2200次；

千位：從1到20000中包含了2個10000，因此1出現了2 * 10^(4-1) = 2000次，剩下的數字是20001到21354，它們的千位數字是1 = 1；情況稍微複雜些，354 + 1 = 355；故1的總數爲2000 + 355 = 2355次；

公式：2 * 10^(4-1) + 354 + 1 = 2355次；

萬位：萬位是2 > 1，沒有更高位；因此1出現的次數是1 * 10^(5-1) = 10000次；

公式：（0 + 1）*10^(5-1) = 10000次；

故總共爲：2136+2140+2200+2355+10000=18831次；
原文鏈接：https://blog.csdn.net/u013132035/article/details/80768636

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對於整數n，我們將這個整數分爲三部分：當前位數字cur，更高位數字high，更低位數字low，如：對於n=21034，當位數是十位時，cur=3，high=210，low=4。

我們從個位到最高位 依次計算每個位置出現1的次數：

1）當前位的數字等於0時，例如n=21034，在百位上的數字cur=0，百位上是1的情況有：00100-00199，01100-01199，……，20100~20199。一共有21*100種情況，即high *100;

2）當前位的數字等於1時，例如n=21034，在千位上的數字cur=1，千位上是1的情況有：01000-01999，11000-11999，21000~21034。一共有2*1000+（34+1）種情況，即 high *1000+(low+1)。

3）當前位的數字大於1時，例如n=21034，在十位上的數字cur=3，十位上是1的情況有：00010-00019，……，21010~21019。一共有（210+1）*10種情況，即(high+1)*10。
這個方法只需要遍歷每個位數，對於整數n，其位數一共有lgn個，所以時間複雜度爲O(logn)。
原文鏈接:https://www.cnblogs.com/yongh/p/9947165.html

public class NumberOf1 {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        int count=0;
        for(int i=1;i<=n;i*=10){  //i代表位數
            int high=n/(i*10); //更高位數字
            int low=(n%i);  //更低位數字
            int cur=(n/i)%10;  //當前位數字
            if(cur==0){
                count+=high*i;
            }else if(cur==1){
                count+=high*i+(low+1);
            }else{
                count+=(high+1)*i;
            }
        }
        return count;
    }
}