編譯原理 消除左遞歸，直接左遞歸、間接左遞歸

消除左遞歸

左遞歸的定義

如果存在非終結符$P$經過一步或一步以上推導出$P\alpha$，即
$P\stackrel{+}{\Longrightarrow}P\alpha$則稱$P$含有左遞歸。

• 含有左遞歸的文法將使自上而下的分析過程¹陷入無限循環。

左遞歸的消除

消除直接左遞歸

假定關於非終結符$P$的規則爲$P\to P\alpha|\beta$其中，$\beta$不以$P$開頭。即，$P$所能確定的是以$\beta$開頭、以若干個$\alpha$結尾的語言。
那麼，可以把$P$的規則改寫爲下面的非直接左遞歸形式：
$P\to \beta P'$ $P'\to \alpha P'|\varepsilon$

• 舉個例子：文法

$E\to E+T|T$ $T\to T*F|F$ $F\to (E)|i$ 經過消去直接左遞歸後變成 $E\to TE'$ $E'\to +TE'|\varepsilon$ $T\to FT'$ $T'\to *FT'|\varepsilon$ $F\to (E)|i$

消除間接左遞歸

先將間接左遞歸變爲直接左遞歸，再按消除直接左遞歸的方法進行。

• 舉個例子，文法G[A]

$A\to Bc|d$ $B\to aA|Ab$ 轉換爲直接左遞歸(代入) $A\to aAc|Abc|d$ 消除直接左遞歸 $A\to aAcA'|dA'$ $A'\to bcA'|\varepsilon$ 簡化爲 $A\to (aAc|d)A'$ $A'\to bcA'|\varepsilon$

消除全部左遞歸

前提：該文法不含迴路²

1. 把文法中所有非終結符按任意一種順序排列成$P_{1},P_{2},P_{3}\cdots,P_{n}$；

2. 對每個非終結符號，用排在它前面的其他非終結符號的產生式表示出來(代入)，並消除產生式中的直接左遞歸。

3. 化簡上一步所得文法，即去掉重複、多餘的產生式。

• 舉個例子，文法G[S]

$S\to Qc|c$ $Q\to Rb|b$ $R\to Sa|a$ 1. 對非終結符排序：R,Q,S
2. 逐個消除直接左遞歸：$R:R\to Sa|a$ 無直接左遞歸，將$R$代入$Q$：$Q\to Sab|ab|b$ 無直接左遞歸，將$R$，$Q$代入$S$：$S\to Sabc|abc|bc|c$ 消除$S$的直接左遞歸：$S\to(abc|bc|c)S'$ $S'\to abcS'|\varepsilon$ 現文法爲：$S\to (abc|bc|c)S'$ $S'\to abcS'|\varepsilon$ $Q\to Sab|ab|b$ $R\to Sa|a$ 3. 去掉多餘產生式 $S\to (abc|bc|c)S'$ $S'\to abcS'|\varepsilon$

注意：對非終結符的排序是任意的（但要保證其識別的符號不變），不同的排序最後所得文法的形式可能不同，但他們是等價的。

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1. 自上而下就是從文法的開始符號出發，向下推導，推出句子。 ↩︎

2. 形如$P\to P$的推導，也不含有以$\varepsilon$爲右部的產生式。 ↩︎