编译原理 消除左递归，直接左递归、间接左递归

消除左递归

左递归的定义

如果存在非终结符$P$经过一步或一步以上推导出$P\alpha$，即
$P\stackrel{+}{\Longrightarrow}P\alpha$则称$P$含有左递归。

• 含有左递归的文法将使自上而下的分析过程¹陷入无限循环。

左递归的消除

消除直接左递归

假定关于非终结符$P$的规则为$P\to P\alpha|\beta$其中，$\beta$不以$P$开头。即，$P$所能确定的是以$\beta$开头、以若干个$\alpha$结尾的语言。
那么，可以把$P$的规则改写为下面的非直接左递归形式：
$P\to \beta P'$ $P'\to \alpha P'|\varepsilon$

• 举个例子：文法

$E\to E+T|T$ $T\to T*F|F$ $F\to (E)|i$ 经过消去直接左递归后变成 $E\to TE'$ $E'\to +TE'|\varepsilon$ $T\to FT'$ $T'\to *FT'|\varepsilon$ $F\to (E)|i$

消除间接左递归

先将间接左递归变为直接左递归，再按消除直接左递归的方法进行。

• 举个例子，文法G[A]

$A\to Bc|d$ $B\to aA|Ab$ 转换为直接左递归(代入) $A\to aAc|Abc|d$ 消除直接左递归 $A\to aAcA'|dA'$ $A'\to bcA'|\varepsilon$ 简化为 $A\to (aAc|d)A'$ $A'\to bcA'|\varepsilon$

消除全部左递归

前提：该文法不含回路²

1. 把文法中所有非终结符按任意一种顺序排列成$P_{1},P_{2},P_{3}\cdots,P_{n}$；

2. 对每个非终结符号，用排在它前面的其他非终结符号的产生式表示出来(代入)，并消除产生式中的直接左递归。

3. 化简上一步所得文法，即去掉重复、多余的产生式。

• 举个例子，文法G[S]

$S\to Qc|c$ $Q\to Rb|b$ $R\to Sa|a$ 1. 对非终结符排序：R,Q,S
2. 逐个消除直接左递归：$R:R\to Sa|a$ 无直接左递归，将$R$代入$Q$：$Q\to Sab|ab|b$ 无直接左递归，将$R$，$Q$代入$S$：$S\to Sabc|abc|bc|c$ 消除$S$的直接左递归：$S\to(abc|bc|c)S'$ $S'\to abcS'|\varepsilon$ 现文法为：$S\to (abc|bc|c)S'$ $S'\to abcS'|\varepsilon$ $Q\to Sab|ab|b$ $R\to Sa|a$ 3. 去掉多余产生式 $S\to (abc|bc|c)S'$ $S'\to abcS'|\varepsilon$

注意：对非终结符的排序是任意的（但要保证其识别的符号不变），不同的排序最后所得文法的形式可能不同，但他们是等价的。

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1. 自上而下就是从文法的开始符号出发，向下推导，推出句子。 ↩︎

2. 形如$P\to P$的推导，也不含有以$\varepsilon$为右部的产生式。 ↩︎