矩阵知识：矩阵乘法、单位矩阵、数量矩阵、初等矩阵、行等价

原創

kking_edc

2020-06-22 19:39

一、从高斯消元法到矩阵乘法：

1.1 高斯消元法

假设存在如下的方程：

将方程化为如下的形式是高斯消元法的目标：
$\begin{cases} R=?\\G=?\\B=? \end{cases}$

思路：
首先利用第一行消去第二行和第三行的第一个元素：

接着利用第二行消去第三行的第二个元素：

接着反过来，用第三行消去第一行和第二行的第三个元素：

接着用第二行消去第一行的第二个元素：

最后达到目标：

1.2 用增广矩阵描述高斯消元法

假设方程为：

则增广矩阵为：

整个过程可以描述为：

1.3 利用矩阵乘法：

上述过程的第一次运算用矩阵乘法可以描述为：

多行乘法：

这一步实际表达了两个过程：

第一行不变： $r_1'=r_1$
第二行改变： $r_2'=r_2-3r_1$

用矩阵乘法则表示为：

所以利用矩阵乘法，整个高斯消元法就可以表示如下：

https://www.matongxue.com/madocs/755.html

二、如何理解矩阵乘法：

一个正确的观点是将矩阵看成是函数，这样很多疑惑就可以迎刃而解。

2.1 矩阵是一个函数：

直线函数与矩阵：
我们熟悉的直线函数 $ax=y$ 把 $(x,0)$ 点映射到 $(0,ax)$ 点：

我们通过矩阵 $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$ 也可以完成这个映射，令：
$A=\begin{pmatrix} 0&1\\a&0 \end{pmatrix}$
则：

矩阵的优点：
对于 $ax=y,x\in R,y\in R$ 只能完成从实数到实数的映射：
$x\to y\implies R\to R$
但是： $A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y},\overrightarrow{x}\in R^n,\overrightarrow{y}\in R^m$ 可以完成更广泛的映射：
$\overrightarrow{x}\to \overrightarrow{y}\implies R^n\to R^m$
为了完成这点，矩阵 $A$ 就不再是系数a了，而是一个函数（或者说是映射）
假设 $\overrightarrow{x}$ 所在平面为 $v$ ，而 $\overrightarrow{y}$ 所在平面为 $W$ ， $\overrightarrow{x}$ 通过矩阵 $A$ 映射到了 $\overrightarrow{y}$ ，可以如下表示：

A这个映射的特别之处是，V上的直线通过A映射到W上依然是直线，所以矩阵也被称为线性映射。

2.2 矩阵作为函数的工作方式：

将之前表示线性映射的3D图变为2D图：

为了绘图方便， $\overrightarrow{x}$ 所在平面V， $\overrightarrow{y}$ 所在平面W，都是二维平面，即 $R^2$

座标：
研究线性映射，最重要的是搞清楚当前处在哪个基下，首先看：

$\overrightarrow{x}$ , $\overrightarrow{y}$ 的基默认为各自空间向量空间下的自然基，其自然基为（即 $R^2$ 下的自然基）：

所以可以得到：

如下图所示：

映射法则的工作原理：
为了说清映射法则A是怎么工作的，将A用一个空间表示，V会通过A映射到W：
设： $A=(\overrightarrow{c_1}\quad\overrightarrow{c_2})$
整个映射过程如下所示：

根据矩阵乘法的规则可以得到（可以理解为 $\overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2}$ 两个向量的一个线性组合）：

则 $A\overrightarrow{x}$ 相当于在A空间中，以 $\overrightarrow{c_1},\overrightarrow{c_2}$ 为基，座标为 $\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ 的向量：

再将 $A\overrightarrow{x}$ 向量用自然基表示：

整体来说，就是基改变，导致向量的座标发生改变：