不動點迭代法求方程的根（Python實現）

不動點迭代法

將原先的
$f(x) = 0$
轉化成
$x = h(x)$
的方式進行求解。

不動點的存在性定理

定理1

如果 $f(x)$ 爲區間$[a, b]$上的連續函數，且滿足下面兩個條件：

1. 壓縮性：對於 $x \in [a, b]$, $a \leq f(x) \leq b$

2. 大L性質：存在正常數L<1, 使得，對於任意的$x, y \in [a, b]$ 都有，
   $|f(x) - f(y)| \leq L|x-y|$

則存在有唯一的不動點。

構造$h(x) = f(x) - x$，再用連續函數的介值定理就可以證明存在性，唯一性代入就可證明。

局部收斂定理：

若有這樣的不動點 $x^*$ ，如果存在有在不動點附近的某個領域，滿足有$h'(x) < 1$，則迭代法：
$x_{t+1} = h(x_t)$
局部收斂。

• $h'(x^*)$數值越接近0，收斂速度越快。
• 如果對於小於n次的導數在不動點出都爲0，且$h^{(n)}(x)$ 不一定爲0，則稱爲n階收斂

舉列子

• 求根號數的迭代（不妨取根號3）

迭代方式有很多種比如:
$\begin{aligned} x^2 - 3 =& 0 \\ x =& x - \lambda (x^2 - 3) & \lambda \in [0, 1] \\ x_{k+1} =& x_{k} - \lambda (x_{k}^2 - 3)\\ \end{aligned}$

代碼：

x = 1
for i in range(100):
    x = x - 0.1 * (x ** 2 - 3)
print(x)

輸出：

1.7320508075688772

$\begin{aligned} x^2 - 3 =& 0 \\ nx^2 =& (n-1)x^2 + 3 & n \in N \\ x =& \frac{(n-1)x}{n} + \frac{3}{nx} \\ x_{k+1} =& \frac{(n-1)x_k}{n} + \frac{3}{nx_k}\\ \end{aligned}$

代碼：

x, n = 2, 2
for i in range(100):
    x = (n - 1) / n * x + 3 / (n * x)
print(x)

輸出：

1.7320508075688772

• 實際上的$\sqrt{3}$

import math
math.sqrt(3)

• 輸出：1.7320508075688772

尾記

• 本文鏈接: https://blog.csdn.net/a19990412/article/details/80814435
• 對應github: https://github.com/Sean16SYSU/Algorithms4N