不动点迭代法求方程的根（Python实现）

不动点迭代法

将原先的
$f(x) = 0$
转化成
$x = h(x)$
的方式进行求解。

不动点的存在性定理

定理1

如果 $f(x)$ 为区间$[a, b]$上的连续函数，且满足下面两个条件：

1. 压缩性：对于 $x \in [a, b]$, $a \leq f(x) \leq b$

2. 大L性质：存在正常数L<1, 使得，对于任意的$x, y \in [a, b]$ 都有，
   $|f(x) - f(y)| \leq L|x-y|$

则存在有唯一的不动点。

构造$h(x) = f(x) - x$，再用连续函数的介值定理就可以证明存在性，唯一性代入就可证明。

局部收敛定理：

若有这样的不动点 $x^*$ ，如果存在有在不动点附近的某个领域，满足有$h'(x) < 1$，则迭代法：
$x_{t+1} = h(x_t)$
局部收敛。

• $h'(x^*)$数值越接近0，收敛速度越快。
• 如果对于小于n次的导数在不动点出都为0，且$h^{(n)}(x)$ 不一定为0，则称为n阶收敛

举列子

• 求根号数的迭代（不妨取根号3）

迭代方式有很多种比如:
$\begin{aligned} x^2 - 3 =& 0 \\ x =& x - \lambda (x^2 - 3) & \lambda \in [0, 1] \\ x_{k+1} =& x_{k} - \lambda (x_{k}^2 - 3)\\ \end{aligned}$

代码：

x = 1
for i in range(100):
    x = x - 0.1 * (x ** 2 - 3)
print(x)

输出：

1.7320508075688772

$\begin{aligned} x^2 - 3 =& 0 \\ nx^2 =& (n-1)x^2 + 3 & n \in N \\ x =& \frac{(n-1)x}{n} + \frac{3}{nx} \\ x_{k+1} =& \frac{(n-1)x_k}{n} + \frac{3}{nx_k}\\ \end{aligned}$

代码：

x, n = 2, 2
for i in range(100):
    x = (n - 1) / n * x + 3 / (n * x)
print(x)

输出：

1.7320508075688772

• 实际上的$\sqrt{3}$

import math
math.sqrt(3)

• 输出：1.7320508075688772

尾记

• 本文链接: https://blog.csdn.net/a19990412/article/details/80814435
• 对应github: https://github.com/Sean16SYSU/Algorithms4N