使用Gompertz模型預測非典的趨勢

在預測軟件的可靠性時，可以根據該軟件多輪測試發現的缺陷個數來預測應該發現的總缺陷數。在軟件測試過程中，最開始的時候，會呈現缺陷增長較快的趨勢狀態，隨着測試的進行，測試難度加大，需要執行較多的測試用例才能發現一個缺陷，雖然繼續投入測試，仍然會持續發現缺陷，但是明顯缺陷的增長速度會減緩，同時軟件中隱藏的缺陷是有限的，因而限制了發現缺陷數的無限增長。在實踐中預測總缺陷數的常用方法是Gompertz模型，該模型預測的準確率很高，尤其是當測試輪次超過總輪次的1/3之後。

其實Gompertz模型最初並非是針對軟件領域的，而是用來預測人類的死亡概率，所以人們也稱之爲：“Gompertz人類死亡定律”，它是由英國保險精算師Benjamin Gompertz在1825年首次發現：你認爲你在明年死的概率是多少？試着用一個數字回答——百分之一？萬分之一？不管是多少，這個數字將在8年後增長一倍！這意味着人們能活到某個特定年齡的概率是在不斷加速下降的。 該模型可以用來刻畫這樣的現象：初期增長緩慢，以後逐漸加快，當達到一定程度後，增長率又逐漸下降，最後接近一條漸近線(K值)。現實中有許多現象符合Gompertz曲線，如軟件缺陷的發現、一定時期的人口增長等，因而該曲線被廣泛應用於現象的趨勢變動研究。

            Gompertz模型是一個雙指數公式：

 

            其中：

                        t是自變量，代表時間，如測試輪次等；

                        K代表Y的極限值，即當t趨向於無窮大時Y的取值，如軟件中隱藏的缺陷總數；

                        a<1，Ka爲t=0時Y的初始值；

                        0<b<1，b爲形狀參數，b越大，代表可靠性增長越慢，到達極限值的速度越慢，如軟件測試的週期越長。

            當已知了歷史數據之後，就可以根據歷史數據採用三和法、三點法、高斯牛頓法等多種方法求出K，a，b值，從而擬合出該現象的發展趨勢。儘管該方法理論上有一些前提條件，但是實踐中我們忽略其前提條件，仍然有很高的準確度。

            我們以2003年4月20日到6月12日65天的北京市非典數據爲例進行測算一下：

序號	日 期	已確診病例累計	新增確診
1	4月20日	339	339
2	4月21日	482	143
3	4月22日	588	106
4	4月23日	693	105
5	4月24日	774	81
6	4月25日	877	103
7	4月26日	988	111
8	4月27日	1114	126
9	4月28日	1199	85
10	4月29日	1347	148
11	4月30日	1440	93
12	5月1日	1553	113
13	5月2日	1636	83
14	5月3日	1741	105
15	5月4日	1803	62
16	5月5日	1897	94
17	5月6日	1960	63
18	5月7日	2049	89
19	5月8日	2136	87
20	5月9日	2177	41
21	5月10日	2227	50
22	5月11日	2265	38
23	5月12日	2304	39
24	5月13日	2347	43
25	5月14日	2370	23
26	5月15日	2388	18
27	5月16日	2405	17
28	5月17日	2420	15
29	5月18日	2434	14
30	5月19日	2437	3
31	5月20日	2444	7
32	5月21日	2444	0
33	5月22日	2456	12
34	5月23日	2465	9
35	5月24日	2490	25
36	5月25日	2499	9
37	5月26日	2504	5
38	5月27日	2512	8
39	5月28日	2514	2
40	5月29日	2517	3
41	5月30日	2520	3
42	5月31日	2521	1
43	6月16日	2521	0
44	6月17日	2521	0
45	6月18日	2521	0
46	6月19日	2521	0
47	6月20日	2521	0
48	6月21日	2521	0
49	6月22日	2521	0
50	6月23日	2521	0
51	6月1日	2522	1
52	6月2日	2522	0
53	6月3日	2522	0
54	6月4日	2522	0
55	6月5日	2522	0
56	6月6日	2522	0
57	6月8日	2522	0
58	6月9日	2522	0
59	6月10日	2522	0
60	6月13日	2522	0
61	6月14日	2522	0
62	6月15日	2522	0
63	6月7日	2523	1
64	6月11日	2523	0
65	6月12日	2523	0

 

            在1stopt軟件中對上述65天的數據進行擬合得到如下的結果：

 

相關係數(R): 0.9993

相關係數之平方(R^2): 0.9987

 

參數     最佳估算

----------      -------------

K               2539.2751

a               0.0991

b              0.8769

 

即模型預測的最終確診人數上限爲2539，在疫情發展過程中，我們可以每天進行預測K值的變化，以下爲基於上述2003年非典數據每5天一次的預測結果與實際值的對比：

第幾天進行預測	K值（上限）	與實際值2523的偏差	與實際值的偏差率
5	982	-1541	-61.08%
10	2530	7	0.28%
15	2715	192	7.61%
20	2779	256	10.15%
25	2712	189	7.49%
30	2632	109	4.32%
35	2581	58	2.30%
40	2569	46	1.82%
45	2560	37	1.47%
50	2552	29	1.15%
55	2546	23	0.91%
60	2542	19	0.75%
65	2539	16	0.63%

綜合上表我們可以發現該模型在初期，即疫情發展的前5天，趨勢不明顯時，預測結果偏差較大，但是中後期擬合的效果還是很好的！

 

            如果採用該方法預測一下當下的新型冠狀病毒肺炎的趨勢會是怎麼樣的呢？敬請關注後續文章！