優化中的subgradient方法

哎，剛剛submit上paper比較心虛啊，無心學習，還是好好碼碼文字吧。

subgradient介紹

subgradient中文名叫次梯度，和梯度一樣，完全可以多放梯度使用，至於爲什麼叫子梯度，是因爲有一些凸函數是不可導的，沒法用梯度，所以subgradient就在這裏使用了。注意到，子梯度也是求解凸函數的，只是凸函數不是處處可導。

f:X→R 是一個凸函數，X∈Rn 是一個凸集。
若是f在x′ 處∇f(x′) 可導，考慮一階泰勒展開式：

f(x)≥f(x′)+∇(f(x′)T(x−x′),∀x∈X

能夠得到f(x) 的一個下屆（f(x)是一個凸函數）
若是f(x) 在x′ 處不可導，仍然，可以得到一個f(x) 的下屆

f(x)≥f(x′)+gT(x−x′),∀x∈X

這個g 就叫做f(x) 的子梯度，g∈Rn
很明顯，在一個點會有不止一個次梯度，在點x 所有f(x) 的次梯度集合叫做此微分∂f(x)








我們可以看出，當f(x) 是凸集並且在x 附近有界時，∂f(x) 是非空的，並且∂f(x) 是一個閉凸集。

次梯度性質

∂f(x)={g}⇔f(x)可微並且g=∇f(x)

滿足：
1）scaling：

∂(αf(x))=α∂f(x),if α>0

2）addition：

∂(f1(x)+f2(x))=∂fz(x)+∂f2(x)

3）point-wise maximum:f(x)=maxi=1,...,mfi(x) 並且fi(x) 是可微的，那麼：

∂f(x)=Co{∇fi(x)∣fi(x)=f(x)}

即所有該點函數值等於最大值的函數的梯度的凸包。
在非約束最優化問題中，要求解一個凸函數f:Rn→R 的最小值

x∗∈argminx∈Rnf(x)

很顯然，若是f可導，那麼我們只需要求解導數爲0的點

f(x∗=minx∈Rn⇔0=∇f(x∗)

當f不可導的時候，上述條件就可以一般化成

f(x∗)=minx∈Rn⇔0∈∇f(x∗)

也即0 滿足次梯度的定義

f(x)≥f(x′)+0T(x−x′),∀x∈Rn

下面是次梯度法的一般方法：

1.t=1 選擇有限的正的迭代步長{αt}∞t=1
2.計算一個次梯度g∈∂f(xt)
3.更新xt+1=xt−αtgt
4.若是算法沒有收斂，則t=t+1 返回第二步繼續計算

次梯度方法性質：

1.簡單通用性：就是說第二步中，∂f(xt) 任何一個次梯度都是可以的.
2.收斂性：只要選擇的步長合適，總會收斂的
3.收斂慢：需要大量的迭代才能收斂
4.非單調收斂：−gt 不需要是下降方向，在這種情況下，不能使用線性搜索選擇合適的αt
5.沒有很好的停止準則

對於不同步長的序列的收斂結果

不妨設ftbest=min{f(x1),..,f(xt)} 是t次迭代中的最優結果
1.步長和不可消時（Non-summable diminishing step size）：
limt→∞αt=0 並且∑∞t=1αt==∞
這種情況能夠收斂到最優解：limt→∞ftbest−f(x∗)=0
2.Constant step size:
αt=γ,where γ>0
收斂到次優解：limt→∞ftbest−f(x∗)≤αG2/2
3.Constant step length:
αt=γ||gt|| (i.e. ||xt+1−xt||=γ )，||g||≤G,∀g∈∂f
能夠收斂到次優解limt→∞ftbest−f(x∗)≤γG/2
4.Polyak’s rule: αt=f(xt)−f(x∗)||gt||2
若是最優值f(x∗) 可知則可以用這種方法。

不等式約束的凸二次優化問題

問題formulate

一個不等式約束的凸二次優化問題可以表示爲：

(w∗,b∗,ξ∗)=argminw,b,ξ[12||w||2+C∑i=1mξi]

s.t.       yi(wTxi+b)ξi≥1−ξi,   ≥0              i=1,⋯,m,i=1,⋯,m.

注意到ξi≥max(0,1−yi(wTxi+b)) ,而且當目標函數取得最優的時候，這裏的等號是成立的，所以可以進行代替:
ξi=max(0,1−yi(wTxi+b))
所以就可以將這個二次悠哈問題改寫成一個非約束凸優化問題

(w∗,b∗)=argminw,bf(w,b)=argminw,b[12||w||2f0(w,b)+C∑i=1mmax(0,1−yi(wTxi+b))fi(w,b)]

問題求解

因爲

f0(w,b)=12||w||2

是可微的,並且
∂wf0(w,b)=w,  ∂bf0(w,b)=0
函數fi(w,b)=max0,1−yi(wTxi+b) 是一個點最大值，所以其次微分可以寫作，所有active function的梯度的convex combination

i -th function	∂wfi(w,b)	∂bfi(w,b)
I+={i|yi(wTxi+b)>1}	0	0
I0={i|yi(wTxi+b)=1}	Co{0,−yixi}	Co{0,−yi}
I−={i|yi(wTxi+b)<1}	−yixi	−yi

所以次微分可以寫作∂f(w,b)=∂f0(w,b)+C∑mi=1∂fi(w,b) 可以使用參數話的表示方法，設0≤βi≤1,i∈I0 ,所以就有g=[w′b′]∈∂f(x)

w′(β)b′(β)=w−C∑i∈I0βiyixi−C∑i∈I−yixi=−C∑i∈I0βiyi−C∑i∈I−yi