最长递增子序列:
找到给定序列的最长子序列的长度,使得子序列所有元素单调递增。
解法一 转化为求最长公共子序列
- 设数组{3,5,7,1,2,8}为A
- 对数组A排序,排序后为B={1,2,3,5,7,8}。
- 求A数组的最长递增子序列,就是求数组A与数组B的最长公共子序列
最长公共子序列求法的时间复杂度:
解法二 动态规划法
与第一个办法不同的是,动态规划是直接在原问题上采用动态规划
最优子结构:
对于长度为N的数组 ,假设我们想要以 结尾的最大递增子序列长度,设长度 ,那么
也就是 的范围是 到 。这样,想求 结尾的最大递增子序列的长度,我们就需要遍历 之前的所有位置 ,找出 ,计算这些 中,能产生最大 ,之后就可以求出 。之后对每一个 中的元素都计算以他们各自结尾的最大递增子序列长度,这些长度的最大值,就是我们要求的问题数组 的最大递增子序列的长度
重叠问题:
根据上面公式的推导采用递归实现的话,有一些子问题就会被计算很多次。
动态规划法:
综上所述:LIS问题具有动态规划需要的两个性质,可以使用动态规划求解该问题。设数组 ,则:
具体打表方式如下:
- 初始化对角线为 1;
- 对每一个 :
- 若 ,置 1。
- 若 ,取第 行的最大值加 1。
打完表以后,最后一行的最大值就是最长递增子序列的长度。由于每次都进行遍历,故时间复杂度还是 。
//LIS 的动态规划方式实现
include <iostream>
using namespace std;
int getLISLength(int A[], int len) {
//定义一维数组并初始化为1
int* lis = new int[len];
for (int i = 0; i < len; ++i)
lis[i] = 1;
// 计算每个i对应的lis最大值,即打表的过程
for (int i = 1; i < len; ++i)
for (int j = 0; j < i; ++j) // 0到i-1
if ( A[i] > A[j] && lis[i] < lis[j] + 1)
lis[i] = lis[j] + 1; // 更新
// 数组中最大的那个,就是最长递增子序列的长度
int maxlis = 0;
for (int i = 0; i < len; ++i)
if ( maxlis < lis[i] )
maxlis = lis[i];
delete [] lis;
return maxlis;
}
解法三 的方案
本解法的具体操作如下:
- 建立一个辅助数组array,依次读取数组元素 x 与数组末尾元素 top比较:
- 如果 x > top,将 x 放到数组末尾;
- 如果 x < top,则二分查找数组中第一个 大于等于x 的数,并用 x 替换它.
遍历结束之后,最长递增序列长度即为栈的大小。
注意c数组的下标代表的是子序列的长度,c数组中的值也是按递增顺序排列的。这才可能用二分查找。
int getLISLength(int num[], int length) {
vector<int> ivec;
for (int i = 0; i < length; ++i) {
if (ivec.size() == 0 || ivec.back() < num[i])
ivec.push_back(num[i]);
else {
int low = 0, high = ivec.size() - 1;
while (low < high) {
int mid = (low + high) / 2;
if (ivec[mid] < num[i])
low = mid + 1;
else
high = mid - 1;
}
ivec[low] = num[i];
}
}
return ivec.size();
特别注意的是:本方法只能用于求最长递增子序列的长度,辅助数组中的序列不是最长递增子序列:
- 例一:原序列为1,5,8,3,6,7
辅助数组为1,5,8,此时读到3,用3替换5,得到1,3,8; 再读6,用6替换8,得到1,3,6;再读7,得到最终栈为1,3,6,7。最长递增子序列为长度4。- 例二:原序列为1,5,8,3
则最栈辅助数组为1,3,8。明显这不是最长递增子序列!
合唱队问题
问题描述:
计算最少出列多少位同学,使得剩下的同学排成合唱队形
问题说明:
位同学站成一排,音乐老师要请其中的 位同学出列,使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形:设 位同学从左到右依次编号为 他们的身高分别为 则他们的身高满足存在 使得 。
任务是:
已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。
输入:
整数 ,一行整数,空格隔开, 位同学身高
输出:
最少需要几位同学出列
样例输入:8 186 186 150 200 160 130 197 200
样例输出:
4
根据题意可知,我们需要求出一个“中间点”,使得其左边的【最长递增子序列】和其右边的【最长递减子序列】之和最大。
```
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int LonggestIncreaseLength(vector<int> &vec) {
vector<int> result(vec.size(), 1);
vector<int> result2(vec.size(), 1);
for (int i = 1; i < vec.size(); i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (vec[i] > vec[j] && result[i] < result[j] + 1)
result[i] = result[j] + 1;
}
}
for (int i = vec.size() - 2; i >= 0; --i) {
for (int j = vec.size() - 1; j > i; --j) {
if (vec[i] > vec[j] && result2[i] < result2[j] + 1)
result2[i] = result2[j] + 1;
}
}
int max = 0;
for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
if (max < result[i] + result2[i])
max = result[i] + result2[i];
}
return vec.size() - max + 1;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
if (n <= 0)
return 0;
vector<int> ivec(n);
for (int i = 0; i < n; i++)
cin >> ivec[i];
cout << LonggestIncreaseLength(ivec) << endl;
}