高中時期我們都接觸過一些極爲常用的不等式，筆者曾在學習不等式的過程中做過一些深入的學習，並對一些常用的不等式做出過證明用來鞏固複習，而在接觸了高等數學並自學數學分析的過程中發現了自己在不等式運用上的一些短板，當時並沒有引起筆者的注意，但在學習專業課的過程中發現一些稍微複雜些的不等式在諸如放縮等運算處理中極爲重要，考慮到記憶與運用兼併，這裏筆者從基本的均值不等式，向量不等並結合傑森不等式着重對Young不等式與Holder不等式做出了較爲細緻的證明，並結合自己所學一元函數積分學與微分學的相關知識，將上述不等式與重要的柯西-許瓦茲不等式以及閔可夫斯基不等式做出了推導證明。
1.均值不等式：
其中，當n=2時，有我們常用的三角不等式：
當n=3時，不等式有：
均值不等式我們在高中時期就已經接觸並能夠熟練運用了，且證明方式也豐富多樣，筆者這裏不做贅述。
2.向量不等式：
對向量不等式進行推廣有：
上述三個不等式均爲我們接觸高等數學常用的不等式，其通過均值不等式可以進行多種形式的推到證明，這三個不等式也是我們證明覆雜不等式的主要工具。
3.傑森不等式：
傑森不等式主要描述的是凸函數上的不等式（函數圖形爲凹弧）即當f(x)在區間i上是嚴格凸函數時，對
有：
針對關於x的線性組合
有：
綜上：均值，向量以及傑森不等式是我們推導複雜關係不等式的基本工具，下面將結合基本不等式給出Young,Holder,Minkanski等重要不等式的推導。
4.Young不等式：
設f(x)是嚴格單調增加的連續函數(x f(0)=0, 設g(x)爲f(x)的反函數，對任意的a,b均大於零成立的不等式爲：
且當b=f(a)時等號成立。
證明如下：
對於等式
，f(x)在[0,a]上爲嚴格單調增加的連續函數，x=g(y)爲f(x)的反函數，即g(y)也嚴格單調增加。並將[0,a],[0,f(a)]劃分爲n等分，其中0=X0<X1<X2<…<Xn=a , 0=y0<y1<y2<…<yn=f(a).
即若f(a)=b則原不等式中的等式情況成立。
若0<f(a)<b則由f(x)連續性有：
若b>f(a)時有：
通過分析法對原始Young不等式進行了證明，下面根據上述證明方式對一般形式下的Young不等式進行證明：
設p>1,q>1,
,則對任意a,b大於等於零，有
，並在
時不等式中等式情況成立。
筆者認爲Young不等式是連接基本不等式與高等數學中較爲複雜不等式的重要橋樑，而通過Young不等式我們可以對Holder不等式進行較爲系統的證明，並在後續對Holder不等式分情況討論能夠得出柯西-許瓦茲不等式以及閔可夫斯基不等式，這樣就將我們所熟悉的不等式大體進行了串聯。
5.Holder不等式：
證明：
以上就是對Holder不等式的證明，可以發現當p=q=1/2時結論就變成了柯西-許瓦茲不等式。下面對柯西-許瓦茲不等式進行證明。
6.柯西-許瓦茲不等式：（結合同濟第七版高等數學給出證明）
證明：
這裏也賦上教材中的證明方法，運用的是二次三項式判別式恆小於等於零保證原方程無負值的原理證明的：
7.閔可夫斯基不等式：
參考文獻：
1.高等數學.同濟第七版.978-7-04-039662-1
2.數學分析新講.張築生.978-7-30-100846-1
3.Young不等式的幾種證明及應用.邢家省.北京航空航天大學數學系