【ARC103D】Distance Sums【树论】【构造】

题意：一棵$n$个点的无权树，给定每个点$i$到其他所有点的距离之和$d_i$，保证$d_i$两两不同。构造或判断无法构造一棵满足条件的树。

$n\leq 10^5$

首先对于非根结点$u$，有

$d_u=d_{fa_u}-siz_u+(n-siz_u)$

所以$d$最大的一定是叶子结点

把$d$从大到小排序，然后用上面的式子依次找到每个点的父亲，如果没有找到输出无解。

注意并不是由儿子的$d$来确定它的父亲是谁，它的父亲以及$d$值是早就定好了的，你只是把它找出来。这个式子是计算式而不是决定式。

因为$d$值是唯一的，所以这个过程是确定的，如果有解的话一定可以确定出来。

注意构造出来了不一定代表有解，如果把$d$看成$n$个变量，而$n-1$条边只能确定$d$之间的关系。所以需要判断一个点算出的$d$是否是真正的$d$，直接把$siz$加起来就是$d_{root}$，判一下即可。

复杂度$O(n\log n)$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <utility>
#define MAXN 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> pi;
ll read()
{
	ll ans=0;
	char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans;
}
pi p[MAXN];
int siz[MAXN],fa[MAXN];
ll d[MAXN];
int main()
{
	int n=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=make_pair(read(),i),siz[i]=1;
	sort(p+1,p+n+1);
	ll sum=0;
	for (int i=n;i>1;i--)
	{
		ll t=p[i].first-n+2*siz[p[i].second];
		int k=lower_bound(p+1,p+n+1,make_pair(t,0))-p;
		if (p[k].first!=t) return puts("-1"),0;
		fa[p[i].second]=p[k].second,siz[p[k].second]+=siz[p[i].second];
		sum+=siz[p[i].second];
	}
	if (sum!=p[1].first) return puts("-1"),0;
	for (int i=1;i<=n;i++) if (fa[i]) printf("%d %d\n",fa[i],i);
	return 0;
}