题意:给定和集合,求出个点的「所有极大点双连通分量的大小都在 内」的不同简单无向连通图的个数 模 。
道理我都懂,可为啥我百度搜地灵殿ex终符一半都是cookie☆同人OI题
思路挺清奇的
首先注意题目中的点双定义是不存在割点,也就是说只有两个点的连通图也是点双
同时一个点可能属于多个点双
显然要设出答案的EGF
因为无向图关系很复杂,所以我们要强行整点东西上去
设表示 个点 带标号 有根 满足题目条件 的方案数 的EGF
有根是指:每张图钦定一个根,如果两张图边完全相同但根不同也视为不同的图
其实就是乘一个
考虑怎么表示出
对于一张有根图,我们把根删掉,这样会出现多个连通块
对于每个连通块,会发现都会有若干点和根处于同一个点双内
但是不会有不同连通块的点处于同一点双,因为根结点删去后它们分开了,与定义矛盾
考虑一个连通块的情况
先考虑根结点所在的点双大小,发现同一组点组成的点双也有多种连边方案
设表示个点构成的带标号点双个数
再设出满足题目要求的点双的EGF
因为没有跨连通块,所以这个连通块的点双一定在内
然后将点双中的所有边删掉,这样点双中的点两两间都不会连通 因为如果连通,由于内部边都断完了,只能走外面的点,而经过的点都会在这个点双内
也就是说,这个大连通块被分成了若干小连通块,且连通块个数等于点双的大小(不含根),小连通块的根是原来的点双中的点
这样可以写出一个大连通块的EGF
也就是
注意:这个过程并没有选出点双中有哪些点,只是把连通块中的点分组并将每组的根按点双的方式连接起来
然后可以表示成任意个数连通块组合再加上根
也就是
假设我们已经求出了,我们尝试算出
设
即和互为复合逆
而
显然,所以可以算出,进而用拉格朗日反演算出
现在的问题是如何求
直接求不好求,考虑构造一个相似的问题用其他方法算一次,再把反推回来
那考虑减少限制 发现减掉在中的限制,也就是任意连通图,我们也可以用这个思路计算
并且这是一道原题
直接取对数就可以轻松算出答案,岂不美哉?
好,我们仿(fu)照(zhi)这道题,算出任意无向连通图的EGF ,并乘一个上个根
现在 已知了
设
相同的思路,得到
变一下可以得到
用拉格朗日反演算出……
拉个鬼啊,一次拉格朗日反演就是的,你要算出就要跑次,再怎么也有了吧
但我们注意到有值的地方很少,而且下标和不超过,所以如果我们直接拉出就没有复杂度问题啦
好,整理一下已知条件
闲着没事把上面代到下面
(注:这里为了统一代码改一下)
好多括号啊,拆掉里面那个
停,我说一句
有个叫扩展拉格朗日反演的东西,长这样:
证明的话在两边同时复合一个,并令,后面就一模一样了
好继续
我们强行构造上面的结论,令
这样
就可以把算出来
现在只需要求出
由于
得到
并不需要手动算,除出来挪一下就可以了
把读入的位置拉出来直接丢到的对应位置,然后推出即可
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <ctime>
#define MAXN 400005
using namespace std;
const int MOD=998244353;
inline int read()
{
int ans=0;
char c=getchar();
while (!isdigit(c)) c=getchar();
while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
return ans;
}
typedef long long ll;
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
inline int qpow(int a,int p)
{
int ans=1;
while (p)
{
if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;
a=(ll)a*a%MOD;p>>=1;
}
return ans;
}
#define inv(x) qpow(x,MOD-2)
int fac[MAXN],finv[MAXN];
int rt[2][24];
int l,r[MAXN];
inline void init(){for (int i=0;i<(1<<l);i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));}
inline void NTT(int* a,int type)
{
int lim=1<<l;
for (int i=0;i<lim;i++) if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for (int L=0;L<l;L++)
{
int mid=1<<L,len=mid<<1,Wn=rt[type][L+1];
for (int s=0;s<lim;s+=len)
for (int k=0,w=1;k<mid;k++,w=(ll)w*Wn%MOD)
{
int x=a[s+k],y=(ll)w*a[s+mid+k]%MOD;
a[s+k]=add(x,y);a[s+mid+k]=dec(x,y);
}
}
if (type)
{
int t=inv(lim);
for (int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*t%MOD;
}
}
void getinv(int* A,int* B,int n)
{
static int f[MAXN],t[MAXN];
if (n==1) return (void)(*B=inv(*A));
getinv(A,t,(n+1)>>1);
for (l=0;(1<<l)<(n<<1);l++);
init();
for (int i=0;i<n;i++) f[i]=A[i];
for (int i=n;i<(1<<l);i++) f[i]=t[i]=0;
NTT(f,0);NTT(t,0);
for (int i=0;i<(1<<l);i++) B[i]=(ll)t[i]*dec(2,(ll)f[i]*t[i]%MOD)%MOD;
NTT(B,1);
for (int i=n;i<(1<<l);i++) B[i]=0;
}
inline void deriv(int* A,int* B,int n){for (int i=0;i<n-1;i++) B[i]=(ll)A[i+1]*(i+1)%MOD;B[n-1]=0;}
inline void integ(int* A,int* B,int n){for (int i=1;i<n;i++) B[i]=(ll)A[i-1]*fac[i-1]%MOD*finv[i]%MOD;B[0]=0;}
void getln(int* A,int* B,int n)
{
static int f[MAXN],g[MAXN];
deriv(A,f,n);getinv(A,g,n);
for (int i=n;i<(1<<l);i++) f[i]=g[i]=0;
NTT(f,0);NTT(g,0);
for (int i=0;i<(1<<l);i++) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%MOD;
NTT(f,1);
integ(f,B,n);
for (int i=n;i<(1<<l);i++) B[i]=0;
}
void getexp(int* A,int* B,int n)
{
static int f[MAXN],g[MAXN];
if (n==1) return (void)(*B=1);
getexp(A,g,(n+1)>>1);getln(g,f,n);
for (int i=0;i<n;i++) f[i]=dec(A[i],f[i]);
++f[0];
for (int i=n;i<(1<<l);i++) f[i]=g[i]=0;
NTT(f,0);NTT(g,0);
for (int i=0;i<(1<<l);i++) B[i]=(ll)f[i]*g[i]%MOD;
NTT(B,1);
for (int i=n;i<(1<<l);i++) B[i]=0;
}
void getpow(int* A,int* B,int n,int k)
{
static int t[MAXN];
getln(A,t,n);
for (int i=0;i<n;i++) t[i]=(ll)t[i]*k%MOD;
getexp(t,B,n);
}
int G[MAXN],H[MAXN],dH[MAXN],A[MAXN],t[MAXN],f[MAXN];
int LangInv(int* F,int n,bool ex=false)
{
static int f[MAXN],g[MAXN];
for (int i=0;i<n;i++) f[i]=F[i+1];
f[n]=0;
getinv(f,g,n);
getpow(g,f,n,n);
int ans=0;
if (ex) for (int i=0;i<n;i++) ans=add(ans,(ll)dH[i]*f[n-i-1]%MOD);
else ans=f[n-1];
return (ll)ans*fac[n-1]%MOD*finv[n]%MOD;
}
time_t START;
int main()
{
fac[0]=1;
for (int i=1;i<MAXN;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%MOD;
finv[MAXN-1]=inv(fac[MAXN-1]);
for (int i=MAXN-2;i>=0;i--) finv[i]=(ll)finv[i+1]*(i+1)%MOD;
rt[0][23]=qpow(3,119);rt[1][23]=inv(rt[0][23]);
for (int i=22;i>=0;i--)
{
rt[0][i]=(ll)rt[0][i+1]*rt[0][i+1]%MOD;
rt[1][i]=(ll)rt[1][i+1]*rt[1][i+1]%MOD;
}
int n=read();
for (int i=0;i<=n;i++) t[i]=(ll)qpow(2,((ll)i*(i-1)/2)%(MOD-1))*finv[i]%MOD;
getln(t,G,n+1);
for (int i=0;i<=n;i++) G[i]=(ll)G[i]*i%MOD;
for (int i=0;i<n;i++) t[i]=G[i+1];
t[n]=0;
getln(t,H,n+1);deriv(H,dH,n+1);
for (int s=read();s;s--)
{
int p=read()-1;
A[p]=LangInv(G,p,true);
}
getexp(A,t,n+1);getinv(t,A,n+1);
for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=A[i-1];
f[0]=0;
printf("%d\n",(ll)LangInv(f,n)*fac[n-1]%MOD);
return 0;
}
P.S. 如果你用LOJ的C++(NOI) T成了狗,试试C++……