NOI.AC 【CSP2019模擬Day 4】排列

題目描述

題解

該題極其符合人類思維邏輯，我們一般用兩個字來形容這種題“水題”。
在草稿紙上畫一下這個序列的樣子
$k+1\quad k+2\quad k+3\quad\cdots\cdots \quad n \quad 1\quad 2 \quad3\quad\cdots\cdots k$
我們把一個循環看成許多次跳躍，每次從第$i$個位置跳到第$a[i]$個位置，規定方向向右。可以發現每一步的跳躍長度是相等的爲$k$，每一個循環獨立，並且每一個循環的長度（稱其爲$cnt$）也是相等的（並且在形式上是相同的）。（因爲錯位後的位置關係是沒有改變的）
所以我們只需求出$cnt$，答案爲$n/cnt$。
怎樣求$cnt$呢。對$70\%$的數據，我們可以暴力的模擬跳躍的過程，最壞情況是$O(n)$的。
對於全部數據（貌似更容易想到這個吧），可以想象跳躍的過程，每次跳$k$這麼長，在一個長度爲$n$的環上跳回原點，跳躍長度爲$lcm(n,k)$，所以$cnt$等於跳躍步數爲$lcm(n,k)/k$，$Ans=n/(lcm(n,k)/k)$
整理一下$Ans=(n*k)/lcm(n,k)=gcd(n,k)$

代碼

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=int(1e6+5);
#define int long long
int n,k;
int a[MAXN];
int gcd(int a,int b) {
    return (b==0)?a:gcd(b,a%b);
}
signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    /*
    for(int i=k+1;i<=n;i++)
        a[i-k]=i;
    for(int i=1;i<=k;i++)
        a[n-k+i]=i;
    int st=1,nw=1,cnt=0;
    do {
        cnt++;
        nw=a[nw];
    }while(st!=nw);
    printf("%d\n",n/cnt);
    */
    printf("%lld",gcd(n,k));
}

抱歉，之前被$long\ long$搞了，就懶得改完了。

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$Thanks$ $For$ $Reading!$