861. 翻转矩阵后的得分
有一个二维矩阵 A 其中每个元素的值为 0 或 1 。
移动是指选择任一行或列，并转换该行或列中的每一个值：将所有 0 都更改为 1，将所有 1 都更改为 0。
在做出任意次数的移动后，将该矩阵的每一行都按照二进制数来解释，矩阵的得分就是这些数字的总和。
返回尽可能高的分数。
示例：
输入：[[0,0,1,1],[1,0,1,0],[1,1,0,0]]
输出：39
解释：
转换为 [[1,1,1,1],[1,0,0,1],[1,1,1,1]]
0b1111 + 0b1001 + 0b1111 = 15 + 9 + 15 = 39
提示：
1 <= A.length <= 20
1 <= A[0].length <= 20
A[i][j] 是 0 或 1
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/score-after-flipping-matrix
class Solution:
def matrixScore(self, A):
rst = 0
R, C = len(A),len(A[0])
for c in range(0, C):
col = 0
for r in range(0, R):
col += A[r][c] ^ A[r][0]
rst += max(col, R-col)*(2**(C-1-c))
return rst
A = [[0,0,1,1],[1,0,1,0],[1,1,0,0]]
print(Solution().matrixScore(A))
39
题解
- 分析
注意到将一行或者一列翻转两次及以上是没有意义的，因为翻转两次等价于没有进行任何翻转。因此每一行和每一列最多被翻转了一次。
我们首先枚举每一行是否被翻转，对于一个 R 行 C 列的矩阵，可能的翻转情况有 2^R 种。随后对于每一列，1 的个数应该越多越好。如果某一列当前有 k 个 1，那么翻转后将会有 R - k 个 1，我们比较 k 和 R - k 的大小，就可以判断这一列是否需要翻转。
对于任意一行而言，如果这一行的第一个数 1，那么它的分数一定会比不是 1 要高。这是因为第一个 1 代表了 2C−12^{C-1}2C−1，而如果第一位是 0，那么即使后面所有的位置都是 1，这一行的值最多也是 2C−2+⋯+21+20=2C−1−12^{C-2} + \cdots + 2^1 + 2^0 = 2^{C-1}-12C−2+⋯+21+20=2C−1−1，小于 2C−12^{C-1}2C−1。因此我们不需要枚举每一行是否需要翻转，而是变为：如果该行的第一位是 0，则翻转，否则不翻转。
- 算法
设矩阵有 R 行 C 列，我们用一个 R 位的二进制数 state 表示每一行是否被翻转，state 的范围是 [0 … 2^R)。
如果该行的第一位是 0 则翻转，否则不翻转（这可以通过代码 A[r][c] ^= A[r][0] 直接实现），并在行翻转完毕后，对第一列进行翻转，这样也使得每一行的第一位都是 1。然后我们枚举每一列是否翻转.
要理解位移运算！