四元素與歐拉角的轉換及定義、代碼

在3D圖形學中，最常用的旋轉表示方法便是四元數和歐拉角，比起矩陣來具有節省存儲空間和方便插值的優點。本文主要歸納了兩種表達方式的轉換，計算公式採用3D笛卡爾座標系：

圖1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)

    定義分別爲繞Z軸、Y軸、X軸的旋轉角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分別爲Yaw、Pitch、Roll。

圖2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)

一、四元數的定義

   通過旋轉軸和繞該軸旋轉的角度可以構造一個四元數：

       其中是繞旋轉軸旋轉的角度，爲旋轉軸在x,y,z方向的分量（由此確定了旋轉軸）。

二、歐拉角到四元數的轉換

三、四元數到歐拉角的轉換

       arctan和arcsin的結果是，這並不能覆蓋所有朝向(對於角的取值範圍已經滿足)，因此需要用atan2來代替arctan。

四、在其他座標系下使用

在其他座標系下，需根據座標軸的定義，調整一下以上公式。如在Direct3D中，笛卡爾座標系的X軸變爲Z軸，Y軸變爲X軸，Z軸變爲Y軸（無需考慮方向）。

參考文獻及代碼http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/quaternionToEuler/

示例代碼 

http://www.cppblog.com/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
Demo渲染兩個模型，左邊使用歐拉角，右邊使用四元數，方向鍵Up、Left、Right旋轉模型。