信號與系統複習與總結

第一章 緒論

信號與系統

信號的概念

• 信號是消息的表現形式,消息則是信號的具體內容.
• 帶有信息的隨時間變化的物理量.

系統的概念

• 系統可看做是對洗腦進行存儲、轉換、傳輸、和處理的物理裝置.
• 若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的具有特定功能的整體.

信號的描述與分類

信號的描述

• 描述信號的基本方法是建立信號的數學模型,即寫出信號的數學表達式.一般地,描述信號的數學表達式都以時間爲變量,即數學表達式都是時間的函數,繪出函數的圖像稱爲信號的波形.
• 信號的描述可分爲兩種:函數表達式和波形.

信號的分類

• 確定信號與隨機信號
• 連續時間信號離散時間信號
• 週期信號與非週期信號
• 能量信號與功率信號
• 實信號與覆信號
• 一維信號與多維信號

系統的描述與分類

系統的分類

• 連續系統:系統的輸入和輸出信號均爲連續信號
• 離散系統:系統的輸入和輸出信號均爲離散信號
• 混合系統:系統的輸入信號是連續信號,輸出信號是離散信號.或者反之.
• 連續時間系統與離散時間系統
• 即時系統與動態系統
• 集總參數系統與分佈參數系統
• 線性系統與非線性系統
• 時變系統與時不變系統

連續系統的描述

連續系統:系統的輸入和輸出信號均爲連續信號

離散系統的描述

離散系統:系統的輸入和輸出信號均爲離散信號

系統的性質

線性、時不變性、因果性、穩定性、即時性

線性

滿足分解性、齊次性、可加性

• 分解性:全響應y(t)可分解爲零輸入響應y_zi(t)和零狀態響應y_zs(t).

y(t) = y_zi(t) + y_zs(t)

• 齊次性:激勵f₁(t)增大α倍時,其響應也增大α倍.

f(t) —> y(t)
αf(t) —> αy(t)

• 可加性:系統對於激勵f₁(t)與f₂(t)之和的響應等於各個激勵單獨作用所引起響應之和

f₁(t) —> y₁(t)
f₂(t) —> y₂(t)
f₁(t) + f₂(t) = y(t) = y₁(t) + y₂(t)

時不變性

• 激勵爲f(t)時產生的零狀態響應爲y_zs(t),若激勵延遲一定時間t₀接入,即f(t-t₀)時,其響應也延遲t₀,爲y_zs(t-t₀).
• 反之爲時變.

因果性

• 系統在任意時刻的輸出值僅取決於現在或過去的輸入,而與將來的輸入無關.

穩定性

• 輸入有界(幅值爲有限制),零狀態響應也有界.
• |f(t)|<∞,其零狀態|y_zs(t)|<∞,則稱該系統是穩定的.

即時性

• 即時系統:系統在任意時刻的響應,僅取決於該時刻的激勵,而與它過去的工作狀態無關,則稱爲即時系統(無記憶系統).
• 動態系統:系統在任意時刻的響應不僅取決於該時刻的激勵,而且與它過去的工作狀態有關,則稱爲動態系統(記憶系統).

LTI系統分析方法概述

• 系統分析的主要任務是通過求解給定系統在已知激勵下的響應,分析系統具有的特性和功能.
• 系統分析就建立系統的數學模型,然後用數學方法進行求解,對所得結果進行物理解釋,並賦予物理含義.
• 系統的描述方法
  – 微分(差分)方程
  – 輸入-輸出(外部法)
  – 狀態變量法(內部法)
• 系統的分析方法
  – 時域法
  – 變換域法
  — 頻域分析
  — 復(s)頻域分析
  — z域分析

第二章 連續時間信號與系統的時域分析

常用信號及信號的基本運算

常用信號(需數熟練掌握)

門信號
正三角脈衝
衝激信號
直流信號
階躍信號
單邊指數信號
雙邊指數信號
餘弦信號
正弦型號
有始餘弦信號
有始正弦信號

信號的基本運算

加法
減法
乘法

階躍信號和衝激信號

階躍信號

U(t)
t > 0 時爲1
t < 0 時爲0

衝激信號

δ(t)
t = 0 爲∞,其餘爲0

零輸入響應

系統輸入爲零,僅系統本身產生的響應

(零狀態響應)階躍響應和衝激響應

系統狀態爲零,僅輸入激勵產生的響應

階躍響應和衝激響應

(衝激響應)
當激勵信號爲單位衝激函數δ(t)時,系統產生的零狀態響應稱爲單位衝激響應
(階躍響應)
當激勵信號爲單位階躍函數u(t)時,系統產生的零狀態響應稱爲單位階躍響應

衝激響應的求解

• 經典解法

1. 求微分方程的齊次解 y(t)≥0
2. h(t)=y(t)u(t)
3. 分別求h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t).求導過程利用f(t)δ(t)=f(0)δ(t)的性質化簡
4. 將h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t)等帶入微分方程中,並令輸入f(x)=δ(t)
5. 令式子兩端δ(t),δ’(t),…δ⁽ⁿ⁾(t)的係數相等,得到一組方程組
6. 求解該方程組得到微分方程齊次解中的待定係數
7. 將待定係數帶入h(t)中即求得衝激響應h(t)

• 已知階躍響應求衝激響應
  對階躍響應求導即可
• 已知系統函數H(S),H(Z)
  對系統函數進行逆變換即可
• 已知G(S),G(Z)
  通過H(S)=G(S)/L[U(t)]求出系統函數H(S),然後再逆變換即可
  通過H(Z)=G(Z)/L[U(t)]求出系統函數H(Z),然後再逆變換即可

卷積積分

信號時域分解與卷積

將一個信號分解成一個個的單位衝激信號
將每個單位衝激信號依次進入系統等於各個單位衝激信號的響應
將單位衝激響應全部疊加即零狀態響應

卷積的圖解

反折
從無窮遠的地方到與信號重疊的前一刻均爲0
從與信號重疊部分開始求面積,若爲分段信號則要再分區間討論
當反折信號開始不再重疊的時候,再次分段計算求面積

卷積積分的性質

結合律
分配律
交換律
微分
積分
微積分
延遲

卷積代數

奇異函數的卷積特性

卷積的微積分性質

卷積的時移特性

連續系統的時域分析

第三章 連續系統的頻域分析

週期信號的傅里葉級數

非週期信號的頻譜——傅里葉變換

傅里葉變換的性質

連續時間系統的頻域分析

第四章 連續系統的s域分析

拉普拉斯變換

從傅里葉變換到拉普拉斯變換

收斂域

(單邊)拉普拉斯變換

單邊拉普拉斯變換的性質

拉普拉斯變換逆變換

連續時間系統的複頻域分析

微分方程的變換解

系統函數

系統特性與系統函數的關係

第五章 離散系統的時域分析

離散信號與離散系統

離散時間信號的表示

典型離散信號

離散信號的基本運算

離散系統響應的求解方法

離散系統的零輸入響應

單位樣值響應和階躍響應

離散系統的零狀態響應

卷積和

卷積的性質

卷積的計算

第六章 離散系統z域分析

z 變換

從拉普拉斯變換到z變換

收斂域

z 變換的性質

逆z變換

離散系統的 z 域分析

差分方程的變換解

系統函數

系統因果性和穩定性

解題方法及注意事項

線性判斷方法

1.設f₁(t)→y₁(t),f₂(t)→y₂(t)
2.令f₃(t)=af₁(t)+bf₂(t)
3.根據f₃(t)求出y₃(t)
4.判斷y₃(t)是否等於ay₁(t)+by₂(t),若相等爲線性,反之爲非線性.

常見類型

y(t)	性質
[f(t)]n	非線性
(at-t0)f(t)	線性
sin[f(t)]	非線性
∫t-∞f(x)dx	線性
af’(t)	線性
f(at)	線性

因果性的判定方法

分別令t=0和t=1,則有y(0)和y(1),此時若式中只有f(0)或f(1)或f(x)x<0或x<1,
則表明響應取決於當前或之前的激勵,故因果.
若f(x)中的x>0或x>1則表明響應取決於未來的激勵,故非因果.

時變與時不變判斷

1.將式子寫成左邊僅保留y(t)的形式(即使有y⁽ⁿ⁾(t)也移到右邊).
2.將f(t)進行延時成f(t-t₀),此時對應的輸出爲y_d(t),包括y⁽ⁿ⁾(t).
3.將原式y(t)進行延遲成y(t-t₀),此時右端所有的t都換成(t-t₀).
4.比較y_d(t)和y(t-t₀),若相等則時不變,反之時變.

衝激響應的求解

• 經典解法

1. 求微分方程的齊次解 y(t)≥0
2. h(t)=y(t)u(t)
3. 分別求h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t).求導過程利用f(t)δ(t)=f(0)δ(t)的性質化簡
4. 將h’(t),h’’(t),…h⁽ⁿ⁾(t)等帶入微分方程中,並令輸入f(x)=δ(t)
5. 令式子兩端δ(t),δ’(t),…δ⁽ⁿ⁾(t)的係數相等,得到一組方程組
6. 求解該方程組得到微分方程齊次解中的待定係數
7. 將待定係數帶入h(t)中即求得衝激響應h(t)

• 已知階躍響應求衝激響應
  對階躍響應求導即可.
• 已知系統函數H(S),H(Z)
  對系統函數進行逆變換即可.
• 已知G(S),G(Z)
  通過H(S)=G(S)/L[U(t)]求出系統函數H(S),然後再逆變換即可.
  通過H(Z)=G(Z)/L[U(t)]求出系統函數H(Z),然後再逆變換即可.

卷積相關

• 當兩個帶有U(t)的信號進行卷積時,積分區域直接寫成$\int_0^t$,計算結果直接加上U(t).
• 當一個帶U(t)和一個帶U(t-t₀)的信號進行卷積時,積分區域直接寫成$\int_0^{t-t_0}$,結果直接加上U(t-t₀).
• 兩個帶常係數的信號卷積,係數部分直接相乘後放到最外邊,再進行卷積.
• 卷積的作用是求解零狀態響應.

奇異信號卷積化簡

$\delta(t)*\delta(t)=\delta(t)$ $\delta(t)*\delta(t-n)=\delta(t-n)$ $\delta(t)*U(t)=U(t)$ $\delta(t)*\delta(t-1)*\delta(t-1)=\delta(t-2)$ $U(t)*U(t)=tU(t)$ $\delta(t-n)*U(t)=U(t-n)$ $U(t)*[-\delta(t)]=-[U(t)*\delta(t)]=-U(t)$

傅里葉相關

• 傅里葉變換得頻移性質是在時域乘以一個旋轉因子而不是指數信號,而公式
  $e^{-at}U(t)\longleftrightarrow\frac{1}{jw+a}$
  是指數信號的傅里葉變換,不是頻移,若遇到$e^{-at}U(t-t_0)$求傅里葉變換一般用定義計算.
• 對U(t)做傅里葉變換得頻移、時移等不能直接在$U(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}$的基礎上進行,因爲$U(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)$而對U(t)進行時移、尺度變換等,時間是對sgn(t)做變換,若直接對
  $\pi\delta(t)+\frac{1}{jw}$進行傅里葉變換必然出現問題.
  綜上遇到對U(t)使用傅里葉變換的性質時,要麼拆分成$U(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)$再做變換,要麼直接對$U(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}$中的$\frac{1}{jw}$做變換.

例:$U(\frac{1}{2}t-1)$
錯誤計算:
1.$U(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}$
2.$U(t-1)\longleftrightarrow\pi\delta(w)e^{-j0}+\frac{1}{jw}e^{-jw}$
3.$U(\frac{1}{2}t-1)\longleftrightarrow2\pi\delta(2w)e^{-j0}+\frac{1}{jw}e^{-2jw}$
正確計算:
1.$U(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}$
2.$U(t-1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t-1)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{1}{jw}e^{-jw}$
3.$U(\frac{1}{2}t-1)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(\frac{1}{2}t-1)\longleftrightarrow\pi\delta(w)+\frac{2}{2jw}e^{-2jw}$

• 若對帶j的時域信號進行傅里葉變換,必然用到對稱性質$F(jt)\longleftrightarrow2\pi f(-w)$但若是指數信號帶j則表示頻移.
• 計算$e^{\pm a} U(\mp t \pm t_0 )$時
  $e^{\pm a} U(\mp t±t_0)\longleftrightarrow\frac{1}{\pm a\mp jw}e^{\pm t_0(\pm a\mp jw)}$

利用傅里葉變換的性質要注意:

• $f(at-b)$:先進行時移再尺度
  $1.F(jw)e^{-bjw}$
  $2.\frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a})e^{-\frac{b}{a}jw}$
• $f(-t+b)$:先進行時移再反折
  $1.F(jw)e^{bjw}$
  $2.F(-jw)e^{-jw}$
• $f(a-bt)$:先進行時移再反折再尺度
  $1.F(jw)e^{bjw}$
  $2.F(-jw)e^{-jw}$
  $3.\frac{1}{|a|}F(j\frac{w}{a})e^{-\frac{b}{a}jw}$
• $-tf(-t)$不能看成$g(t)=tf(t)\rightarrow g(-t)=-tf(-t)\longleftrightarrow jF'(-jw)$
  應看成
  $f(-t)\longleftrightarrow F(-jw)$
  $tf(-t)\longleftrightarrow jF'(-jw)$
  $-tf(-t)\longleftrightarrow -jF'(-jw)$
• 對$f(-t)\longleftrightarrow F(-jw)$做時移時,乘$e^{-jwt}$變成$e^{jwt}$或$e^{jwt}$變成$e^{-jwt}$
• 利用時域相乘頻域相卷積時,頻域需乘一個$\frac{1}{2\pi}$
• 傅里葉變換若化簡成$f[a(t-b)]$的形式再做變換時要注意時移對應的部分不需要做尺度即$f[a(t-b)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{w}{a})e^{-bjw}$
• 在時域時域必須所有t進行改變例:$tU(t)$時移$(t-1)U(t-1)$

傅里葉逆變換

• 做傅里葉變換逆變換時注意是否反折

例:$-\frac{1}{jw-a}$
$-\frac{1}{jw-a}=\frac{1}{-jw+a}$是經反折的,所以可以寫成$\frac{1}{jw-a}$然後求逆變換得$e^{at}U(t)$再反折得$e^{-at}U(-t)$

• 對於逆變換中常有
  $F(jw)=w^2=-(jw)^2$
  $F(jw)=-\frac{2}{w^2}=j(\frac{2}{jw})'$
  $F(jw)=\frac{1}{(jw+a)^2}=j(\frac{1}{jw+a})'$
  $F(jw)=\delta(w)\longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}$
  $F(jw)=[U(w)-U(w-w_0)]=g_{w_0}(w-\frac{w_0}{2})$
  $f(-w)=\frac{1}{2\pi}F(jt)$
  $f(w)=\frac{1}{2\pi}F(-jt)$

門信號和三角信號

門信號

• $g_2(t)$表示寬爲2的門信號,若進行尺度變換$g_2(at)$則可寫成$g_\frac{a}{2}(t)$
• 門信號做傅里葉變換之前儘量化簡到以中心頻率爲$(w-w_0)$的點

  例$g_2(w-w_0)+g_2(w+w_0)$ 因爲存在頻域,所以逆變換後會有旋轉因子,不利於化簡和計算故畫出頻域圖像,
  該圖像可以表示成一個門信號一個門信號,即$g_6(w)-g_2(w)$,
  
  此時再做逆變換將會簡單一些,大此時化簡需要用三角函數的和差化積公式.

三角信號

$τ△_{2τ}(t)= g_τ(t)*g_τ(t)$

$\frac{1}{2\pi} g_6(w)*g_6(w)$

希爾伯特變換

• 遇到與$\frac{1}{\pi t}$卷積說明要利用希爾波特變換$\frac{1}{\pi t}\longleftrightarrow-jsgn(w)$與信號$F(jw)$相乘,[利用了時域相卷頻域相乘的性質]

時域-頻域-S域-Z域

1. 在時域到頻域、(S)(Z)域過程中,若時域中同時出現時移和頻移(表現在是否有旋轉因子)的情況,要先時移再頻移.
2. 做逆變換時若同時出現時移和頻移,則先頻移再時移.
3. 在什麼域就先做什麼域的平移.

時域與頻域之間的頻譜關係

時域	頻域
連續週期	離散非週期
連續非週期	連續非週期
離散週期	離散週期
離散非週期	連續週期

4. 週期信號都做傅里葉級數展開且頻譜均離散
5. 非週期信號讀作傅里葉變換,且頻譜均連續
6. 時間連續的信號變換到頻域爲非週期信號
7. 時間離散的信號變換到頻域爲週期信號

計算問題

1. 使用長除法做部分分式展開要注意,分子最高次數大於分母最高次數,當餘數最高次數小於分母最高次數時結束計算,此時結果爲商+(餘數/分母)的形式.

例:
$\frac{s^3+s^2+1}{(s+1)(s+2)}=\frac{s^3+s^2+1}{s^2+3s+2}$分子最高次大於分母最高次,利用長除法

$(s-2)+\frac{4s+5}{s^2+3s+2}$

2. 做部分分式展開式,當分子分母次數均爲1時,可將分子湊成與分母形式一樣的式子出現,再做加減拆分,知道分子無變量爲止.

例:
$1-\frac{2s+2}{s+2}+\frac{4s+4}{s-3}=1-\frac{s+s+2}{s+2}+\frac{4(s-3)+4+12}{s-3}$
$=1-(\frac{s}{s+2}+1)+(4+\frac{16}{s-3})=-(\frac{s+2-2}{s+2})+4+\frac{16}{s-3}$
$=3+\frac{2}{s+2}+\frac{16}{s-3}$

3. 做逆變換之前查看分子分母是否能湊出可約分項約去.
4. 做逆變換時若同時出現時移和頻移,則先頻移再時移.
5. 做單邊拉氏變換默認乘以U(t).門信號均用階躍信號之差來表示.
6. 對於$tU(t-n)$均化爲$(t-n)U(t-n)-nU(t-n)$的形式在做變換,其中n爲常數.
7. 對於$sint U(t-\pi)$均化爲$sin(t-\pi)U(t-\pi)$的形式再做變換.

頻率響應的濾波特性

輸入爲$f(t)=e^{jw_0t}$,則系統的輸出爲$y(t)=e^{jw_0t}H(jw_0)$
輸入爲$f(t)=Acos(w_0t+\theta )$時,輸出爲$y(t)=Acos(w_0t+\theta+\varphi )H(jw_0)$

部分分式展開

F(z)和F(s)做部分分式展開的區別

1. F(s)滿足真分式,即分子最高次小於分母最高次.
2. F(z)滿足分子最高次小於或等於分母最高次.
3. F(s)滿足條件即可直接展開.
4. F(z)必須要先化成$\frac{F(z)}{z}$的形式才能展開,且展開後要將$\frac{F(z)}{z}$還原成F(z),即左右同乘z.

展開技巧

1. 求z逆變換若不是$\frac{z}{z+C}$的形式,而是$\frac{C}{z}$或$\frac{z+A}{Bz}$的形式,優先化成$\frac{A}{Bz}$的形式,再化成$\frac{A}{B}z^{-1}+C$的形式,然後再做逆變換.利用$\delta(n)\longleftrightarrow 1和\delta(n-m)\longleftrightarrow z^{-m}$
2. 形如$F(s)=\frac{已知二次方程}{(S-C)(二次方程)}$可分解爲$F(s)=\frac{A}{S-C}+\frac{B_1S+B_2}{二次方程}$的形式.
   再利用$A=(S-C)F(s)|_{s=c}$的方法解出待定係數A,則化爲$F(s)=\frac{已知A}{S-C}+\frac{B_1S+B_2}{二次方程}=\frac{已知二次方程}{(S-C)(二次方程)}=F(s)原式$通過比較$S,S^2$等係數解出$B_1,B_2$後再進行化簡或分解.
3. $\frac{二次方程}{s^2(s+1)}$形式一般可化爲$\frac{A}{S+1}+\frac{B_{21}}{S^2}+\frac{B_{22}}{S}$的形式
   例: $\frac{1}{4s(s^2+1)}=\frac{1/4}{s(s^2+1)}$一般可拆分爲$\frac{A}{s}+\frac{Bs+1}{s^2+1}$

系統穩定性判斷

1. 通過系統函數H(s)/H(z)判斷系統是否穩定.
   –1.先求極點
   –2.s域:若極點均小於0則穩定.z域:若極點絕對值均小於1則穩定.
2. 判斷二階離散系統H(z)的穩定性
   朱利準則:對於二階系統$A(z)=a_2z^2+a_1z+a_0$
   系統穩定的條件是$A(1)>0且A(-1)>0且a_2>|a_0|$
3. 判斷二階連續系統H(s)的穩定性
   勞斯霍爾維茨準則:對於二階系統$A(s)=a_2s^2+a_1s+a_0$的全部係數皆爲正數且不爲0時系統穩定.
4. 在S平面虛軸上存在一階極點和其餘極點位於S平面左半開平面時系統爲臨界穩定.

奈奎斯特

$T_{sm}=\frac{1}{2fm}$:奈奎斯特取樣間隔(最大取樣間隔).
$f_{smin}=2f_m$:奈奎斯特取樣率.
$w_s\geq2w_m$:奈奎斯特頻率(最小抽樣頻率).
$T\leq\frac{\pi}{w_m}$:奈奎斯特間隔.
$w=2\pi f$ $f=\frac{w}{2\pi}$ $2f=\frac{w}{\pi}$ $T=\frac{1}{f}$

響應的初始值求解理解

1. 全響應=零輸入響應+零狀態響應
   $y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$
2. 零狀態響應在輸入的爲0時值爲0,即在求零輸入響應時零狀態響應爲0.
3. 當求零輸入響應時,因爲零狀態響應在輸入爲0時值爲0,所有此時全響應由零輸入響應產生.
   $y(t)=y_{zi}(t)$
4. 當題目給出0_前的初始狀態y(0_),若是求零輸入響應$y_{zi}(t)$,則因爲零輸入的輸入爲0的全響應由零輸入產生,故$y(0\_)=y_{zi}(t)$.
5. 在求解時需要求解0+後的零輸入響應$y_{zi}(t)$,此時需要求出0+後的初始條件$y_{zi}(0+)$,因爲所求零輸入響應$y_{zi}(t)$,故輸入爲0,即使在0+後輸入也依然爲0,故零狀態響應$y_{zi}(0+)=0$(恆等於0),所以0+後的全響應依然由0+後的零輸入響應$y_{zi}(0+)$產生.
   $y(0\_)=y_{zi}(0-)+0$$y(0+)=y_{zi}(0+)+0$

例:設題目給出的微分方程爲$y''(t)+Ay'(t)+By(t)=f(t),求零輸入響應$
因爲所求爲零輸入,故f(t)=0,此時變成齊次方程$y''(t)+Ay'(t)+By(t)=0$
對方程兩端從0_到0+積分則有
$\int_{0-}^{0+}y''(t)dt+A\int_{0-}^{0+}y'(t)dt+B\int_{0-}^{0+}y(t)dt=\int_{0-}^{0+}0dt$
根據牛頓萊布尼茲公式
$y'(0+)-y'(0-)+A[y(0+)-y(0-)]+B*0=0$
因爲y(t)從0-到0+積分區域爲0(無窮小),故面積爲0,也可解釋爲y(t)在0處無跳變.
爲使方程左右兩端相等,故有
$\begin{cases} y'(0+)-y'(0-)=0\\ y(0+)-y(0-)=0 \end{cases}$
$\begin{cases} y'(0+)=y'(0-)\\ y(0+)=y(0-) \end{cases}$
最後可得
$\begin{cases} y_{zi}(0+)=y(0+)=y(0-)=y_{zi}(0-)\\ y'_{zi}(0+)=y'(0+)=y'(0-)=y'_{zi}(0-) \end{cases}$

零輸入響應&零狀態響應求解

$全響應=零輸入響應+零狀態響應$

連續系統

零輸入響應

1. 列特徵方程求特徵根
2. 根據特徵根設通解形式
3. 在求零輸入響應時全響應的的初始條件可以當做0+之後的零輸入響應,即$y(0-)=y_{zi}(0-)=y(0+)=y_{zi}(0+)$因爲零輸入時y_{zs}(0-)=0(恆等於),且y(0+)=y(0-).
4. 代入初始條件解出通解的常數即得到零輸入響應.

零狀態響應

1. 首先要知道,求零狀態響應時在0-前未輸入的情況下y_{zs}(0-)=0(恆等於).
2. 對原方程兩端從0-到0+積分,會出現$y'(0+)-y'(0-),y(0+)-y(0-)$等式子,由$y(0+)=y_{zi}(0+)+y_{zs}(0+)$$y(0-)=y_{zi}(0-)+y_{zs}(0-)$可知$y(0+)-y(0-)=y_{zi}(0+)+y_{zs}(0+)-y_{zi}(0-)-y_{zs}(0-)$因爲在零輸入響應時零狀態爲0,且因爲輸入爲0,故$y_{zi}(0+)=y_{zi}(0-)$上述式子可寫爲$y(0+)-y(0-)=y_{zs}(0+)-y_{zs}(0-)$又因在零狀態時0-前未輸入,所以$y_{zs}(0-)=0$,故積分所求結果爲$y_{zs}(0+)$的值.
   上述可推廣到$y'_{zs}(0+)...y^{(n)}_{zs}(0+)$
3. 根據誰激勵的形式設特解,並帶入原方程解出特解,並根據特徵根列響應的齊次解+特解形式的方程$△$.
4. 將求出的初始條件$y_{zs}(0+)...y^{(n)}_{zs}(0+)$代入所設方程$△$中,並求出待定常數代回方程$△$中,即爲零狀態響應.

離散系統

零輸入響應

1. 根據特徵方程求特徵根,列通解方程.
2. 因爲零輸入故零狀態爲零,所以直接代入初始條件$y(0)...y^{(n)}(0)$解出待定常數.

零狀態響應

1. 根據輸入激勵設相應的特解,並帶入原方程解出.
2. 根據特徵根設齊次解+特解形式的方程$△$
3. 通過迭代得出零狀態響應的初始條件$y(0)...y(n)$,因爲$y(n)=y_{zi}(n)+y_{zs}(n)$故在求解中會因爲相減而消去$y_{zi}(n)$,所以迭代出來的$y(0)...y(n)$,即爲$y_{zs}(0)...y_{zs}(n)$
4. 將所求的初始條件$y_{zs}(0)...y_{zs}(n)$代入方程$△$中解出待定常數再回代,即爲零狀態響應.

微分方程和差分方程求解注意事項

1. 0+之後的初始狀態求法不同.
2. 通解的形式不同,特解的形式也不同.
3. 寫出通解的式子要註明$t\geq0,n\geq0$
   寫零狀態響應要乘以U(t),U(n)表明該方程0之前均爲0.
   寫全響應要註明$t\geq0,n\geq0$.不能乘以U(t),U(n),因爲不知道0之前是否有零輸入響應.
4. 在求解帶特解的方程時:例$y_{zs}(t)=C_{zs1}e^{-t}+C_{zs2}e^{-3t}+y_{zsp}(t)$求$y'_{zs}(t)$時,因爲特解$y_{zsp}(t)$也是一個變量,故也要對其進行求導.
5. 求零狀態初始條件$y(0+)$時.可能會出現
   $y(0+)-y(0-)=0\Rightarrow y(0+)=y(0-)$的情況.
   注意此時$y(0-)$不是題目給定的$y(0-)$,而是零狀態響應$y_{zs}(0-)$.
   而$y_{zs}(0-)=0(恆等於)$
   由$y(0+)=y(0-)\Rightarrow y_{zi}(0+)+y_{zs}(0+)=y_{zi}(0-)+y_{zs}(0-)$$y_{zs}(0+)=y_{zi}(0-)+y_{zs}(0-)-y_{zi}(0+)$激勵爲輸入時,$y_{zi}(0+)=y_{zi}(0-),y_{zs}(0-)=0$故$y_{zs}(0+)=0$.
6. 求特解時注意不僅把特解代入原方程,其輸入也要全部代入.
7. 當設特解$y_{zsp}(k)=p_0$常數時,$y_{zsp}(k-n)$的差分均爲$p_0$常數.

信號流圖

$H(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}=\frac{s+2}{s^2+4s+3}$
直接形式(卡爾曼形式)表達式:
$H(s)=\frac{s^{-1}+2s^{-2}}{1+4s^{-1}+3s^{-2}}$
並聯形式表達式:
$H(s)=\frac{0.5}{s+1}+\frac{0.5}{s+3}=\frac{0.5s^{-1}}{1+s^{-1}}+\frac{0.5s^{-1}}{1+3s^{-1}}$
串聯(級聯)形式表達式:
$H(s)=\frac{1}{s+1}·\frac{s+2}{s+3}=\frac{s^{-1}}{1+s^{-1}}·\frac{1+2s^{-1}}{1+3s^{-1}}$

• 在畫信號流圖時:
  1.分解H(s)表達式成需要的形式,注意一般分子次數不大於分母次數.
  2.依據分解好的式子畫流圖,先畫流圖開頭部分,即源點.
  3.其次按式中最低次冪,一次增加$s^{-1}$的線段.
  4.接着完成分子的流圖,其結果輸出到最後一個節點,即陷點.
  注意:常數也連接到最後節點.
  5.最後完成分母部分的流圖.
  在繪製過程中從後向前流的需增加負號,若值爲負則抵消,表現在式中爲兩式想減的形式.

• 直接型的式子不需要拆分,其信號流圖直接畫.

• 並聯型的式子需要部分分式展開,其信號流圖分別畫各式子的流圖,再頭與頭連,尾與尾連.

• 串聯型的式子(級聯型)需拆分成兩分式相乘的形式,其信號流圖分別畫然後依次首尾相連接即可.

系統框圖

• 對於給定系統框圖求系統微分方程/差分方程

連續系統

• 一般設最後一個積分器後面的結果爲中間變量.
  則每個積分器的前一級爲導數關係.
  以第一個求和器的結果爲基點,列出第一個方程(1式),並化簡成左邊均爲輸出,右邊均爲輸入的形式.
  以最後一個求和器的結果爲基點列出第二個方程(2式),並化簡成左邊均爲輸出,右邊均爲輸入的形式.
  取(1式)左邊輸出的式子,並將中間變量替換成y(t)[1式].
  取(2式)右邊輸入的式子,並將中間變量替換成f(t)[2式].
  令[1式]等於[2式],即得出連續系統的微分方程.

離散系統

• 一般設第一個差分器(延時器)之前的輸入爲中間變量.
  則每個差分器後爲中間變量的差分.
  以第一個求和器的結果爲基點,列出第一個方程(1式),並並化簡成左邊均爲輸出,右邊均爲輸入的形式.
  以最後一個求和器的結果爲基點列出第二個方程(2式),並化簡成左邊均爲輸出,右邊均爲輸入的形式.
  取(1式)左邊輸出的式子,並將中間變量替換成y(k)[1式].
  取(2式)右邊輸入的式子,並將中間變量替換成f(k)[2式].
  令[1式]等於[2式],即得出離散系統的微分方程.

求解注意

• 根據系統框圖求解衝激響應時切記$f(t)=\delta(t)$要參與其中.
• 在寫方程時需注意系統框圖中求和器是否出現負號.

階躍響應求解

• 求解階躍響應時,若h(t)中包含U(t)項,zai對U(t)項積分後記得計算t的取值範圍並轉換成U(t-n)的形式乘回去.
• 只要對含U(t)的式子進行積分,在積分結束後需計算t的取值範圍,並轉換爲階躍函數的形式與積分結果相乘.
• 階躍響應$g(t)\leftrightarrow G(s)$不是H(s)的導數.
  正確的求法爲$G(s)=H(s)/s=H(s)L[u(t)]$然後再逆變換.
• 一般階躍響應爲$e^{-3t}U(t)$時,求H(s)不考慮求導在拉氏變換,而應直接變換$g(t)\leftrightarrow G(s)$,再通過$H(s)=\frac{G(s)}{1/s}$來求.

拉普拉斯初值定理和終值定理

初值定理的使用條件

• F(s)爲真分式(若爲假,則化爲整數+真分式,然後對真分式使用初值定理)

終值定理的使用條件

• F(s)的極點均在左半平面或s=0處只有一階極點,若不滿足則終值$f(∞)$不存在.

初值定理

1. 先將F(s)化簡成分子次數小於分母次數(一般用長除法).
2. 將F(s)的分母最高次的s的係數化爲1(若式子簡單也可以不化).
3. 若化簡後出現整式+真分式的情況,直接捨棄整式,計算真分式的初值定理.

終值定理

1. 先計算極點,若極點均在右半平面或有一階以上極點在jw軸,則終值$f(∞)$不存在.
2. 若時域爲發散函數,即收斂域不包含虛軸時終值不存在.

(簡易)一元三次方程拆分/求根方法

例:$x^3+7x^2+14x+8=0$
式中常數8的因子有[1,2,4,8]
爲了讓因子之和或差等於二次項的係數.故舍棄8.故根爲拆分出的因子的相反數.
$x_1=-1, x_2=-2,x_3=-4$即拆分爲$(x+1)(x+2)(x+4)=0$且三個根兩兩之間的乘積的總和等於一次項係數,即$(-1*2)+(-1*-4)+(-2*-4)=14$

拆解步驟

例1:$x^3+9x^2+23x+15=0$

1. 15的因子爲[1,3,5,15]
2. 爲滿足因子之和或差等於二次項的係數,故舍去15
3. 取因子相反數,即$x_1=-1,x_2=-3,x_3=-5$
4. 驗算:每兩根之積的結果的綜合是否等於一次項係數$(-1*-3)+(-1*-5)+(-3*-5)=23$
5. $(x+1)(x+3)(x+5)=0$

例2:$x^3+10x^2+27x+18=0$

1. 15的因子爲[1,2,3,6,9,18]
2. 爲滿足因子之和或差等於二次項的係數且只需保留3個,故舍去9,18,而1+3+6=10,故舍去2
3. 取因子相反數,即$x_1=-1,x_2=-3,x_3=-6$
4. 驗算:每兩根之積的結果的綜合是否等於一次項係數$(-1*-3)+(-1*-6)+(-3*-6)=27$
5. $(x+1)(x+3)(x+6)=0$

重根情況

例3:$x^3-4x^2+5x-2=0$

1. 2的因子爲[1,2]
2. 爲滿足因子之和或差等於二次項的係數且需滿足3個,因不足3個則必有重根,爲滿足因子之和爲4,故取[1,2,1]
3. 取因子相反數,即$x_1=-1,x_2=-2,x_3=-1
4. 驗算:每兩根之積的結果的綜合是否等於一次項係數$(-1*-2)+(-2*-1)+(-1*-1)=5$
5. $(x+1)^2(x+2)=0$

判斷是否存在+1,-1的根

• 考試中一般三次方程會有一個1或-1的根.因爲+1,-1是任何數的因子.
• 判斷是否有+1,-1的根,即隔次項係數相加等於另一組隔次項係數相加.
  例$x^3+9x^2+23x+15=0$

1. 三次項係數+一次項係數(1+23)=24$[1式]$
2. 二次項係數+零次項係數(9+15)=24$[2式]$
3. 因爲$[1式]=[2式]$,故必有一個根爲(-1)
4. 若[1式]和[2式]互爲相反數,即$[1式]=-[2式]$,則必有一個根爲1.

方法失效的情況

• 當上述方法不起租用說明可能存在共軛根
  例$s^3+s^2-2=0$此時$1+2+1\neq1$,且$(-1)+(-2)+(-1)\neq1$,
  但判斷是否存在$\pm1$的方法依然有效.
  當判斷存在一個$\pm1$根後可用長除法.
  因爲有一個根爲(1),故除數爲(s-1)
  結果$(s-1)(s^2+2s+2)$此時再用配方法,十字相乘公式法等化簡.