POJ2187-最遠點對->旋轉卡殼（怎麼開心怎麼讀）

給n個點，求最遠點對,n<=50000

n^2暴力可以過麼- -||   給了3s

不過據說凸包+n^2暴力可以過，沒有卡數據。

然後我寫了一下，發現果然數據很弱。

這是裸的凸包+n^2

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
const int maxn=50000+20;
using namespace std;
struct point
{
	int x,y;
	point(){}
	point(int _x,int _y)
	{
		x=_x;y=_y;
	}
	point operator +(const point&b)
	{
		return point(x+b.x,y+b.y);
	}
	point operator -(const point&b)
	{
		return point(x-b.x,y-b.y);
	}
	point operator *(const int &b)
	{
		return point(x*b,y*b);
	}
};
int cross(point a,point b)
{
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
int dot(point a,point b)
{
	return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
bool cmp(point a,point b)
{
	if(a.x!=b.x)return a.x<b.x;
	return a.y<b.y;
}
int n;
int dis(point a,point b)
{
	return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
point p[maxn];
point q[maxn];
void solve()
{
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	int m=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(m>1&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;
		q[m++]=p[i];
	}
	int k=m;
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		while(m>k&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;
		q[m++]=p[i];
	}
	
	int ans=0;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		for(int j=i+1;j<m;j++)
		{
			ans=max(ans,dis(q[i],q[j]));
		}
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
		solve();
	}
	return 0;
}

不過跑的最快的應該就是凸包+旋轉卡殼了。

對於一個凸多邊形，我們可以嘗試用兩條相平行但反向的有向直線去夾，一定能夠夾住。   夾住的兩個點爲對踵點。

我們可以看成是對於每一條邊，都找到一個最高的點，使得和它構成的三角形面積最大。  然後再轉動這個邊，如果是逆時針轉的，那麼新的最高點也會向逆時針轉，因爲兩條平行線轉動方向需要一致。利用這個性質我們就可以從上一次找到的點枚舉，就降低了複雜度。(一般優化到O(n))

旋轉卡殼的代碼其實很短：

void qiake(int n)
{
	int pos=1;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		while(cross(q[i+1]-q[i],q[pos]-q[i])<cross(q[i+1]-q[i],q[pos+1]-q[i]))pos=(pos+1)%n;
		ans=max(ans,dis(q[i],q[pos]));
		ans=max(ans,dis(q[i+1],q[pos]));
	}
	printf("%d\n",ans);
}

看出來了，其實是利用了叉積計算三角形面積，使得某一個點的和邊構成的三角形面積最大。

然後就是求最遠點對的模版：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
const int maxn=50000+5;
using namespace std;
struct point
{
	int x,y;
	point(){}
	point(int _x,int _y)
	{
		x=_x;
		y=_y;
	}
	point operator +(const point&b)
	{
		return point(x+b.x,y+b.y);
	}
	point operator -(const point&b)
	{
		return point(x-b.x,y-b.y);
	}
	point operator *(const int &b)
	{
		return point(x*b,y*b);
	}
};
int dis(point a,point b)
{
	return (a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y);
}
int cross(point a,point b)
{
	return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
int dot(point a,point b)
{
	return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
bool cmp(point x,point y)
{
	if(x.x!=y.x)return x.x<y.x;
	else return x.y<y.y;
}

point q[maxn];
point p[maxn];
int len;
void qiake(int n)
{
	int pos=1;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		while(cross(q[i+1]-q[i],q[pos]-q[i])<cross(q[i+1]-q[i],q[pos+1]-q[i]))pos=(pos+1)%n;
		ans=max(ans,dis(q[i],q[pos]));
		ans=max(ans,dis(q[i+1],q[pos]));
	}
	printf("%d\n",ans);
}
int n;
int solve()
{
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	int m=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(m>1&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;
		q[m++]=p[i];
	}
	int k=m;
	for(int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		while(m>k&&cross(q[m-1]-q[m-2],p[i]-q[m-2])<=0)m--;
		q[m++]=p[i];
	}
	if(n>1)m--;
	return m;
}
point t[maxn];

int main()
{
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
		len=solve();
		qiake(len);
	}
	return 0;
}