CF551D GukiZ and Binary Operations 矩陣快速冪

題目鏈接： http://codeforces.com/problemset/problem/551/D

題意：

你現在需要構造一個長爲 $n$ 的數組 $a$ ，使得 $(a_1and a_2)|((a_2and a_3)|...|(a_{n-1}and a_n))=k$ ,且 $a_i<2^l$ ,問你能構造出多少個這樣的數組 $a$。

做法：

我們將 $k$ 用二進制進行拆分，對於某一位 $i$ ，假設

• $k$ 的這一位爲 $0$，那麼就表示這一位在數組中沒有兩個連續的 $1$ 。
• $k$ 的這一位爲 $1$，那麼就表示這一位在數組中至少出現一次兩個連續的 $1$ 。

那麼假設我們要算沒有出現兩個連續的 $1$ 的情況數有幾個，對於 $a_1$ 來說，這一位可以是 $0$ 或者 $1$ ，如果是 $0$ ，那麼下一個可以出現 $1$ 和 $0$ ，否則下一個只能出現 $0$ 。

用矩陣表示即

最後得出的兩個數相加即爲不能出現連續兩個 $1$ 的方案數，另一種情況只需要 $2^n$ 減去這個數量即可。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define rep_e(i,u,v) for(int i=head[u],v=to[i];~i;i=nex[i],v=to[i])
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=305;
const int maxm=100005;
ll n,k,mod,l;
struct mat{
    ll a[5][5];
    void Clear(){
        memset(a,0,sizeof(a));
        rep(i,1,2){
            a[i][i]=1;
        }
    }
};
mat mul(mat a,mat b){
    mat ans;
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    rep(i,1,2)
        rep(j,1,2)
            rep(k,1,2)
                ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
    return ans;
}
ll quick(ll a,ll b){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
mat Quick(mat a,ll k){
    mat ans;
    ans.Clear();
    while(k){
        if(k&1) ans=mul(ans,a);
        a=mul(a,a);
        k/=2;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&l,&mod);
    ll num0=0,num1=0;
    for(ll i=0;i<min(l,63ll);i++){
        if(k&(1ll<<i))num1++;
        else num0++;
    }
    if(l==64) num0++;
    if(l<63){
        if(k>=(1ll<<l)){
            return 0*printf("0\n");
        }
    }

    mat now,tmp;
    memset(now.a,0,sizeof(now.a));
    now.a[1][1]=now.a[1][2]=now.a[2][1]=1;
    memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));
    tmp.a[1][1]=tmp.a[2][1]=1;

    mat fin=Quick(now,n-1);
    fin=mul(fin,tmp);
    ll no_s1=(fin.a[1][1]+fin.a[2][1])%mod;
    ll yes_s1=(quick(2ll,n)+mod-no_s1)%mod;
    ll ans=(quick(no_s1,num0)%mod*quick(yes_s1,num1)%mod)%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}