2019牛客国庆one D.Modulo Nine dp

题目链接： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/1099/D

题意：

你要构造一个长为 $n$ 的数字串 $a_1a_2a_3a_4....a_n$，使得其满足 $m$ 个条件，每个条件为一个区间 $[l_i,r_i]$ 要求 $a_{l_i}*a_{l_i+1}*...*a_{r_i}$ $mod$ $9=0$ ，问你能构造出多少这样的串。

做法：

把题目剖析一下大概就是，在这些区间中的数字必须要至少有一个为 $0$ 或者分解质因数后有两个 $3$ 。那么我们就可以把数字 $3,6$ 当做数字 $1$ ，数字 $9,0$ 当做数字 $2$ 。即要求每个区间内的和要至少为 $2$ 。

队友用的是记忆化搜索，大概意思 $dp[i][j][k]$ 是到达第 $i$ 个数字时，数字和为 $0$ 的第一个区间为 $k$ ，和为 $1$ 的第一个区间为 $j$ 。听起来能懂的样子然而…我是不会敲，膜一下膜一下…

后来看了人家的代码学到了另一种稍微简单一点的做法。

我们先维护好每一个右端点最大限制的左界在哪里（即对于位置 $pos$ ，要求的最近的左区间位置在哪里），同样以上面的理论作为基础 $dp[i][j][k]$ 代表的是，到第 $i$ 个格子的时候，之前的第一个 $1$ 出现的位置为 $j$ ，第二个 $1$ 出现的位置为 $k(k<=j)$ 的方案数。

当然，我们需要一些前置条件限制，如果我们想要从 $dp[i-1][j][k]$ 转移来，那么这个 $k$ 必要满足 $i=i-1$ 时候的情况。 如果已经满足，那假设我们这一位放的是 $3，6$， 那么最近的就可以变成 $dp[i][i][j]$ 即最近的有位置 $i$ 一份，假设我们这一位放的是 $0，9$， 那么最近的就可以变成 $dp[i][i][i]$ ，即两个最近的 $1$ 都已经是我当前枚举的位置了。然后就转移就可以了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i = (int)a;i<=(int)b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=55;
const ll mod=1e9+7;
ll dp[55][55][55],ans;
int n,m,L[55];
void add(ll &a,ll b){
    a=(a+b)%mod;
}
void init(){
    ans=0ll;
    memset(L,0,sizeof(L));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[1][1][1]=2ll;dp[1][1][0]=2ll;
    dp[1][0][0]=6ll;
}
int main(){

    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        init();
        rep(i,1,m){
            int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
            L[y]=max(L[y],x);
        }
        rep(i,2,n){
            rep(j,0,i){
                rep(k,0,j){
                    if(k<L[i-1]) continue;
                    add(dp[i][j][k],6ll*dp[i-1][j][k]);
                    add(dp[i][i][j],2ll*dp[i-1][j][k]);
                    add(dp[i][i][i],2ll*dp[i-1][j][k]);
                }
            }
        }
        rep(j,0,n){
            rep(k,0,j){
                if(k<L[n]) continue;
                add(ans,dp[n][j][k]);
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}