23种激活函数

一、简介

   一个节点的激活函数(Activation Function)定义了该节点在给定的输入或输入的集合下的输出。神经网络中的激活函数用来提升网络的非线性（只有非线性的激活函数才允许网络计算非平凡问题），以增强网络的表征能力。对激活函数的一般要求是：必须非常数、有界、单调递增并且连续，并且可导。
  在实际选择激活函数时并不会严格要求可导，只需要激活函数几乎在所有点可导即可，即在个别点不可导是可以接受的。另外，其导数尽可能的大可以帮助加速训练神经网络，否则导数过小会导致网络无法继续训练下去。

二、激活函数种类

  下面是不同的激活函数的函数公式，图像和导数公式，图像。

1、恒等函数

$f(x)=x \qquad\qquad\qquad f^{'}(x)=1$

2、单位阶跃函数

$f(x)=\left\{\begin{array} {ll} 0,x < 0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.\qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array} {ll} 0,x \ne 0\\?,x= 0 \end{array}\right.$

3、逻辑函数

$f(x)=\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\qquad\qquad f^{'}(x)=f(x)(1-f(x))$

4、双曲正切函数

$f(x)=tanh(x)=\frac{(e^x-e^{-x})}{e^x+e^{-x}}\qquad \qquad f^{'}(x)=1-f(x)^2$

5、反正切函数

$f(x)=tan^{-1}(x)\qquad\qquad f^{'}(x)=\frac{1}{x^2+1}$

6、Softsign函数

$f(x)=\frac{x}{1+|x|}\qquad\qquad f^{'}(x)=\frac{1}{(1+|x|)^2}$

7、反平方根函数(ISRU)

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+\alpha x^2}}\qquad \qquad f^{'}(x)=(\frac{1}{\sqrt{1+\alpha x^2}})^3$

8、线性整流函数(ReLU)

$f(x)= \left\{\begin{array}{ll}0,x<0\\x,x\ge 0 \end{array}\right.\qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0,x<0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.$

9、带泄露线性整流函数(Leaky ReLU)

$f(x)= \left\{\begin{array}{ll}0.01x,x<0\\x,x\ge 0 \end{array}\right.\qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0.01,x<0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.$

10、参数化线性整流函数(PReLU)

$f(x)= \left\{\begin{array}{ll}\alpha x,x<0\\x,x\ge 0 \end{array}\right.\qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha,x<0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.$

11、带泄露随机线性整流函数(RReLU)

$f(x)= \left\{\begin{array}{ll}\alpha x,x<0\\x,x\ge 0 \end{array}\right.\qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\alpha,x<0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.$

12、指数线性函数(ELU)

$f(x)= \left\{\begin{array}{ll}\alpha(e^x-1),x<0\\x,x\ge 0 \end{array}\right.\qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(\alpha,x)+\alpha,x<0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.$

13、扩展指数线性函数(SELU)

$\begin{aligned} f(x)=\lambda \left\{\begin{array}{ll}\alpha(e^x-1),x<0\\x,x\ge 0 \end{array}\right. \\ \lambda=1.0507,\alpha=1.67326 \end{aligned} \qquad\qquad f^{'}(x)=\lambda \left\{\begin{array}{ll}\alpha(e^x),x<0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.$

14、S型线性整流激活函数(SReLU)

$\begin{aligned} f_{t_l,a_l,t_r,a_r}(x)=\left\{\begin{array} {ll} t_l+a_l(x-t_l),x\le t_l\\ x,t_l<x<t_r\\ t_r+a_r(x-t_r),x\ge t_r \end{array}\right.\\ t_l,a_l,t_r,a_r为参数 \end{aligned}\qquad\qquad f_{t_l,a_l,t_r,a_r}^{'}(x)=\left\{\begin{array} {ll} a_l,x\le t_l\\ 1,t_l<x<t_r\\ a_r,x\ge t_r \end{array}\right.$

15、反平方根线性函数(ISRLU)

$f(x)= \left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{\sqrt{1+\alpha x^2}},x<0\\x,x\ge 0 \end{array}\right.\qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array}{ll}(\frac{1}{\sqrt{1+\alpha x^2}})^3,x<0\\1,x\ge 0 \end{array}\right.$

16、自适应分段线性函数(APL)

$f(x)=max(0,x)+\sum_{s=1}^{S}a^s_{i}max(0,-x+b^s_i)\qquad\qquad f^{'}(x)=H(x)-\sum^{S}_{s=1}a^s_iH(-x+b^s_i)$

17、SoftPlus函数

$f(x)=\ln(1+e^x) \qquad\qquad f^{'}(x)=\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}+1$

18、弯曲恒等函数

$f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{2}+x\qquad\qquad f^{'}(x)=\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}+1$

19、Sigmoid Weighted Liner Unit(SiLU)

$f(x)=x\cdot \sigma(x) \qquad\qquad f^{'}(x)=f(x)+\sigma(x)(1-f(x))$

20、SoftExponential

$f(x)= \left\{\begin{array} {ll} -\frac{ln(1-\alpha(x+\alpha))}{\alpha}, \alpha < 0\\ x,\alpha=0\\ \frac{e^{\alpha x}-1}{\alpha},\alpha >0 \end{array}\right. \qquad\qquad f^{'}(x)=\left\{\begin{array} {ll} \frac{1}{1-\alpha(\alpha+x)},\alpha < 0\\ e^{\alpha x},\alpha \ge 0 \end{array}\right.$

21、正弦函数

$f(x)= sin(x)\qquad\qquad f^{'}(x)=cos(x)$

22、Sinc函数

$f(x)=\left\{\begin{array} {ll} 1,x=0 \\ \frac{sin(x)}{x},x\ne 0 \end{array}\right.\qquad \qquad f(x)=\left\{\begin{array} {ll} 0,x=0 \\ \frac{cos(x)}{x}-\frac{sin(x)}{x},x\ne 0 \end{array}\right.$

23、高斯函数

$f(x)=e^{-x^2} \qquad\qquad f^{'}(x)=-2xe^{-x^2}$