連續系統微分方程——信號與系統學習筆記

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連續時間系統的數學模型

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根據實際系統的物理特性列寫系統的微分方程。
給定激勵條件和初始狀態，求響應。
經數學解析後再回到物理實際。
結構圖，例如方框圖和信號流圖。

注意：一般微分方程的階次就是未知量的最高階次，與等號右側的自由項階數無關，其完整的判斷爲$v_c(t)$的最高階次減去最低階次。

方程的階次實際由獨立的動態元件個數決定

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連續時間系統的框圖表示

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在學習框圖的過程中，除了基本的運算符號，還會遇到如前向差分(forward difference)這個差分的概念。
差分運算，相應於微分運算，在模電中我們學習過差分放大電路，就是當該電路的兩個輸入端的電壓有差別時，輸出電壓纔有變動，因此稱爲差動。

函數的前向差分通常簡稱爲函數的差分。對於函數$y(n)$,在等距節點，我們稱$\bm{y(n+1)-y(n)}$爲一階前向差分,
同理$\bm{y(n)-y(n-1)}$爲一階後向差分；此外還有中心差分$\bm{\frac{1}{2}[y(n+1)-y(n-1)]}$

其實求導中就包含差分公式：如用前向差分公式就可以表示爲$f^{'}(x)=\frac{f(x_{k+1})-f(x_k)}{x_{k+1}-x{k}}$

差分的階：
$y(n)=x(n-2)+ay(n-1)$ 方程的階次仍然是一階後向差分方程，判別爲響應的最高階次減去響應的最小階次，與自由項（激勵）無關。

標準的差分方程應爲$y(n)-ay(n-1)=x(n-2)$，自由項全在等號右邊。

根據框圖寫微分方程：

詳細的求解過程中有一些習慣性的技巧：

1. 從後向前假設
2. 先找加法器，有幾個加法器列幾個等式
3. 列出後消去中間變量，最後只保留$e(t)和r(t)$

當我們略去推導過程，最後通過式1和式2相互代入其實就可得到我們想要的方程。

根據微分方程畫框圖：

倒推畫框圖 由通信博主AHONEY、筆記提供