根據LTI性質快速求解零狀態響應微分方程

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系統的判定

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認識一個系統的屬性，普遍從判斷其線性、時不變性、因果性入手。

1. 線性性質：
   包括齊次性
   $e(t)→H→r(t)$
   $ke(t)→H→kr(t)$（$k$爲常數）
   可加性
   $e_1(t)→H→r_1(t)$
   $e_2(t)→H→r_2(t)$
   $e_1(t)+e_2(t)→H→r_1(t)+r_2(t)$

2. 時不變性：
   
   先移位後進行變換與它先進行變換後再移位是等效的。

3. 因果性
   僅當輸入信號激勵系統時才產生系統輸出響應的系統。
   響應永不超前激勵。

例：
判斷 $r(t)=e(1-t)$ 是什麼系統
1>
$e_1(t)→H→r_1(t) = e_1(1-t)$
$e_2(t)→H→r_2(t) = e_2(1-t)$
$C_1e_1(t)+C_2e_2(t)→H→r(t) = C_1e_1(1-t)+C_2e_2(1-t) \\= C_1r_1(t)+C_2r_2(t)$

故爲線性。

2>
$e(1-t)=e(-t+1)$
對於$e(t)$而言，
可以將$e(t)$先反褶($得到e(-t)$），後右移1個單位（$得到e(-(t-1))$）；
也可將$e(t)$先左移1個單位$得到e(t+1)$，再反褶得到$e(-t+1)$。

$\bm{e(t-t_0)}→H→r(t)=e(-t-t_0)（先反褶），\\(後時移)e(-(t-1)-t_0)=e(1-t-t_0)$

$\bm{r(t-t_0)}=e(-(t-t_0)+1)=e(1-t+t_0)$

前後不等效，故爲時不變性。

3>
代入特殊值（一般含有尺度變換的系統不要代0）

$r(t)=e(1-t)$

$r(0)=e(1)$，響應超前激勵，故爲非因果。

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利用LTI性質解微分方程

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根據線性時不變特性，還可推出系統的積分微分特性。

利用該特性可以將較爲複雜的系統轉化爲簡單的系統快速求解一些零狀態響應。

例：$r^{'}(t)+2r(t)=e^{''}(t)+e^{'}(t)+2e(t)$
$e(t) = u(t)$，求$r_{zs}(t)$

雖然$\bm{r_1^{'}(t)+2r_1(t)}=e_1(t)$和$\bm{r^{'}(t)+2r(t)}=e^{''}(t)+e^{'}(t)+2e(t)$
的激勵自由項不相同，但系統是一致的。

當輸入2個$e_1(t)$時，$2e_1(t)→H→2r_1(t)$

當輸入$e_1^{'}(t)$時，$e_1^{'}(t)→H→r_1^{'}(t)$

當輸入$e_1^{''}(t)$時，$e_1^{'}(t)→H→r_1^{''}(t)$

故$r=r_1^{''}(t)+r_1^{'}(t)+2r_1(t)$
只要求出$r_1$，$r$也就求出來了。

非常適用右端自由項比較複雜的情況。