之前遇到了一道2009高教杯建模國賽題，需用到PID算法再用simulink模擬，然而看了半天沒懂，多虧此文。雖然最後還是沒模擬出來，唉。
原文鏈接：https://blog.csdn.net/qq_25352981/article/details/81007075
PID控制應該算是應用非常廣泛的控制算法了。小到控制一個元件的溫度，大到控制無人機的飛行姿態和飛行速度等等，都可以使用PID控制。這裏我們從原理上來理解PID控制。
PID(proportion integration differentiation)其實就是指比例，積分，微分控制。先把圖片和公式擺出來，看不懂沒關係。（一開始看這個算法，公式能看懂，具體怎麼用怎麼寫代碼也知道，但是就是不知道原理，不知道爲什麼要用比例，微分，積分這3個項才能實現最好的控制，用其中兩個爲什麼不行，用了3個項能好在哪裏，每一個項各有什麼作用）
總的來說，當得到系統的輸出後，將輸出經過比例，積分，微分3種運算方式，疊加到輸入中，從而控制系統的行爲，下面用一個簡單的實例來說明。
比例控制算法
我們先說PID中最簡單的比例控制，拋開其他兩個不談。還是用一個經典的例子吧。假設我有一個水缸，最終的控制目的是要保證水缸裏的水位永遠的維持在1米的高度。假設初試時刻，水缸裏的水位是0.2米，那麼當前時刻的水位和目標水位之間是存在一個誤差的error，且error爲0.8.這個時候，假設旁邊站着一個人，這個人通過往缸里加水的方式來控制水位。如果單純的用比例控制算法，就是指加入的水量u和誤差error是成正比的。即
u=kp*error
假設kp取0.5，
那麼t=1時（表示第1次加水，也就是第一次對系統施加控制），那麼u=0.5*0.8=0.4，所以這一次加入的水量會使水位在0.2的基礎上上升0.4，達到0.6.
接着，t=2時刻（第2次施加控制），當前水位是0.6，所以error是0.4。u=0.5*0.4=0.2，會使水位再次上升0.2，達到0.8.
如此這麼循環下去，就是比例控制算法的運行方法。
可以看到，最終水位會達到我們需要的1米。
但是，單單的比例控制存在着一些不足，其中一點就是 –穩態誤差！（我也是看了很多，並且想了好久纔想通什麼是穩態誤差以及爲什麼有穩態誤差）。
像上述的例子，根據kp取值不同，系統最後都會達到1米，不會有穩態誤差。但是，考慮另外一種情況，假設這個水缸在加水的過程中，存在漏水的情況，假設每次加水的過程，都會漏掉0.1米高度的水。仍然假設kp取0.5，那麼會存在着某種情況，假設經過幾次加水，水缸中的水位到0.8時，水位將不會再變換！！！因爲，水位爲0.8，則誤差error=0.2. 所以每次往水缸中加水的量爲u=0.5*0.2=0.1.同時，每次加水缸裏又會流出去0.1米的水！！！加入的水和流出的水相抵消，水位將不再變化！！
也就是說，我的目標是1米，但是最後系統達到0.8米的水位就不在變化了，且系統已經達到穩定。由此產生的誤差就是穩態誤差了。
（在實際情況中，這種類似水缸漏水的情況往往更加常見，比如控制汽車運動，摩擦阻力就相當於是“漏水”，控制機械臂、無人機的飛行，各類阻力和消耗都可以理解爲本例中的“漏水”）
所以，單獨的比例控制，在很多時候並不能滿足要求。
積分控制算法
還是用上面的例子，如果僅僅用比例，可以發現存在暫態誤差，最後的水位就卡在0.8了。於是，在控制中，我們再引入一個分量，該分量和誤差的積分是正比關係。所以，比例+積分控制算法爲：
u=kp*error+ ki∗∫∗∫error=0.8+0.4=1.2. 這個時候的控制量，除了比例的那一部分，還有一部分就是一個係數ki乘以這個積分項。由於這個積分項會將前面若干次的誤差進行累計，所以可以很好的消除穩態誤差（假設在僅有比例項的情況下，系統卡在穩態誤差了，即上例中的0.8，由於加入了積分項的存在，會讓輸入增大，從而使得水缸的水位可以大於0.8，漸漸到達目標的1.0.）這就是積分項的作用。
微分控制算法
換一個另外的例子，考慮剎車情況。平穩的駕駛車輛，當發現前面有紅燈時，爲了使得行車平穩，基本上提前幾十米就放鬆油門並踩剎車了。當車輛離停車線非常近的時候，則使勁踩剎車，使車輛停下來。整個過程可以看做一個加入微分的控制策略。
微分，說白了在離散情況下，就是error的差值，就是t時刻和t-1時刻error的差，即u=kd*（error（t）-error（t-1）），其中的kd是一個係數項。可以看到，在剎車過程中，因爲error是越來越小的，所以這個微分控制項一定是負數，在控制中加入一個負數項，他存在的作用就是爲了防止汽車由於剎車不及時而闖過了線。從常識上可以理解，越是靠近停車線，越是應該注意踩剎車，不能讓車過線，所以這個微分項的作用，就可以理解爲剎車，當車離停車線很近並且車速還很快時，這個微分項的絕對值（實際上是一個負數）就會很大，從而表示應該用力踩剎車才能讓車停下來。
切換到上面給水缸加水的例子，就是當發現水缸裏的水快要接近1的時候，加入微分項，可以防止給水缸裏的水加到超過1米的高度，說白了就是減少控制過程中的震盪。
現在在回頭看這個公式，就很清楚了
括號內第一項是比例項，第二項是積分項，第三項是微分項，前面僅僅是一個係數。很多情況下，僅僅需要在離散的時候使用，則控制可以化爲
每一項前面都有係數，這些係數都是需要實驗中去嘗試然後確定的，爲了方便起見，將這些係數進行統一一下：
這樣看就清晰很多了，且比例，微分，積分每個項前面都有一個係數，且離散化的公式，很適合編程實現。
講到這裏，PID的原理和方法就說完了，剩下的就是實踐了。在真正的工程實踐中，最難的是如果確定三個項的係數，這就需要大量的實驗以及經驗來決定了。通過不斷的嘗試和正確的思考，就能選取合適的係數，實現優良的控制器。