求解最大匹配問題的一個算法是匈牙利算法。
交替路：從一個未匹配點出發，依次經過非匹配邊、匹配邊、非匹配邊…形成的路徑叫交替路。
增廣路：從一個未匹配點出發，走交替路，如果途徑另一個未匹配點（出發的點不算），則這條交替路稱爲增廣路（agumenting path）。例如，圖 5 中的一條增廣路如圖 6 所示（圖中的匹配點均用紅色標出）：
增廣路有一個重要特點：非匹配邊比匹配邊多一條。因此，研究增廣路的意義是改進匹配。只要把增廣路中的匹配邊和非匹配邊的身份交換即可。由於中間的匹配節點不存在其他相連的匹配邊，所以這樣做不會破壞匹配的性質。交換後，圖中的匹配邊數目比原來多了 1 條。
我們可以通過不停地找增廣路來增加匹配中的匹配邊和匹配點。找不到增廣路時，達到最大匹配（這是增廣路定理）。匈牙利算法正是這麼做的。在給出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代碼之前，先講一下匈牙利樹。
匈牙利樹一般由 BFS 構造（類似於 BFS 樹）。從一個未匹配點出發運行 BFS（唯一的限制是，必須走交替路），直到不能再擴展爲止。例如，由圖 7，可以得到如圖 8 的一棵 BFS 樹：
這棵樹存在一個葉子節點爲非匹配點（7 號），但是匈牙利樹要求所有葉子節點均爲匹配點，因此這不是一棵匈牙利樹。如果原圖中根本不含 7 號節點，那麼從 2 號節點出發就會得到一棵匈牙利樹。這種情況如圖 9 所示（順便說一句，圖 8 中根節點 2 到非匹配葉子節點 7 顯然是一條增廣路，沿這條增廣路擴充後將得到一個完美匹配）。
匈牙利算法的要點如下
-
從左邊第 1 個頂點開始，挑選未匹配點進行搜索，尋找增廣路。
1.如果經過一個未匹配點，說明尋找成功。更新路徑信息，匹配邊數 +1，停止搜索。
2.如果一直沒有找到增廣路，則不再從這個點開始搜索。事實上，此時搜索後會形成一棵匈牙利樹。我們可以永久性地把它從圖中刪去，而不影響結果。 -
由於找到增廣路之後需要沿着路徑更新匹配，所以我們需要一個結構來記錄路徑上的點。DFS 版本通過函數調用隱式地使用一個棧，而 BFS
版本使用 prev 數組。
性能比較
- 兩個版本的時間複雜度均爲O(V⋅E)。DFS 的優點是思路清晰、代碼量少，但是性能不如 BFS。我測試了兩種算法的性能。對於稀疏圖，BFS
版本明顯快於 DFS 版本；而對於稠密圖兩者則不相上下。在完全隨機數據 9000 個頂點 4,0000 條邊時前者領先後者大約
97.6%，9000 個頂點 100,0000 條邊時前者領先後者 8.6%, 而達到 500,0000 條邊時 BFS 僅領先 0.85%。
匈牙利算法DFS板子：
(dfs(match[v])就保證了走的是交替路。注意第一個點不要標記爲已用！！）
static int maxn,match[]=new int[maxn],n;
static ArrayList<Integer> G[]=new ArrayList[maxn];
static boolean used[]=new boolean[maxn];
static boolean dfs(int u) {
for(int v=0;v<G[u].size();v++) {
if(!used[v]) {//要求不在交替路中
used[v]=true;//放入交替路
if(match[v]==-1||dfs(match[v])) {
//是未覆蓋點，說明交替路爲增廣路，交換路徑並返回true
match[v]=u;
match[u]=v;
return true;
}
used[v]=false;
}
}
return false;
}
static int hungarian() {
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++) {
match[i]=-1;
}
for(int i=0;i<left_n;i++) {
if(match[i]==-1) {
for(int j=0;j<n;j++) {
used[j]=false;
}
if(dfs(i)) {
ans++;
}
}
}
return ans;
}
BFS板子：
static int n,left_n,maxn=10010,prev[]=new int[maxn],check[]=new int[maxn],match[]=new int[maxn];
static Vector<Integer>G[]=new Vector[maxn];
static int hung() {
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++) {
match[i]=-1;
check[i]=-1;
}
LinkedList<Integer> q=new LinkedList<>();
for(int i=0;i<left_n;i++) {
if(match[i]==-1) {
while(!q.isEmpty())q.poll();
q.add(i);
prev[i]=-1;
boolean flag=false;
while(!q.isEmpty()&&!flag) {
int u=q.poll();
for(int ix=0;ix<G[u].size()&&!flag;ix++) {
int v=G[u].get(ix);
if(check[v]!=i) {
check[v]=i;
q.add(match[v]);
if(match[v]>=0) {
prev[match[v]]=u;
}else {
flag=true;
ans++;
int d=u,e=v;
while(d!=-1) {
int t=match[d];
match[d]=e;
match[e]=d;
d=prev[d];
e=t;
}
}
}
}
}
}
}
return ans;
}