歐拉函數及部分性質

歐拉函數：對於一個正整數n，小於n且和n互質的正整數（包括1）的個數，記作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn),其中p1, p2……pn爲x的所有質因數。φ(1)=1（唯一和1互質的數就是1本身）。

歐拉定理：對於互質的正整數a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

性質：
1.對於質數p，φ（p) = p - 1。注意φ(1)=1.
2.歐拉函數是積性函數——若m,n互質，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
3.若n是質數p的k次冪，φ(n)=p^k-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因爲除了p的倍數外，其他數都跟n互質。
4.特殊性質：當n爲奇數時，φ(2n)=φ(n)

歐拉函數還有這樣的性質：

1.設a爲N的質因數，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 則有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 則有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
2.有k使得φ(k)的值y大於等於x，求k的最小值。由於對於質數p，φ（p) = p - 1，易知k應是大於等於y+1的第一個質數。