求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
匈牙利算法的要点如下
-
从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
1.如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
2.如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。 -
由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS
版本使用 prev 数组。
性能比较
- 两个版本的时间复杂度均为O(V⋅E)。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我测试了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS
版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约
97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。
匈牙利算法DFS板子：
(dfs(match[v])就保证了走的是交替路。注意第一个点不要标记为已用！！）
static int maxn,match[]=new int[maxn],n;
static ArrayList<Integer> G[]=new ArrayList[maxn];
static boolean used[]=new boolean[maxn];
static boolean dfs(int u) {
for(int v=0;v<G[u].size();v++) {
if(!used[v]) {//要求不在交替路中
used[v]=true;//放入交替路
if(match[v]==-1||dfs(match[v])) {
//是未覆盖点，说明交替路为增广路，交换路径并返回true
match[v]=u;
match[u]=v;
return true;
}
used[v]=false;
}
}
return false;
}
static int hungarian() {
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++) {
match[i]=-1;
}
for(int i=0;i<left_n;i++) {
if(match[i]==-1) {
for(int j=0;j<n;j++) {
used[j]=false;
}
if(dfs(i)) {
ans++;
}
}
}
return ans;
}
BFS板子：
static int n,left_n,maxn=10010,prev[]=new int[maxn],check[]=new int[maxn],match[]=new int[maxn];
static Vector<Integer>G[]=new Vector[maxn];
static int hung() {
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++) {
match[i]=-1;
check[i]=-1;
}
LinkedList<Integer> q=new LinkedList<>();
for(int i=0;i<left_n;i++) {
if(match[i]==-1) {
while(!q.isEmpty())q.poll();
q.add(i);
prev[i]=-1;
boolean flag=false;
while(!q.isEmpty()&&!flag) {
int u=q.poll();
for(int ix=0;ix<G[u].size()&&!flag;ix++) {
int v=G[u].get(ix);
if(check[v]!=i) {
check[v]=i;
q.add(match[v]);
if(match[v]>=0) {
prev[match[v]]=u;
}else {
flag=true;
ans++;
int d=u,e=v;
while(d!=-1) {
int t=match[d];
match[d]=e;
match[e]=d;
d=prev[d];
e=t;
}
}
}
}
}
}
}
return ans;
}