通過python理解相速度和羣速度

從物理學的機制出發，波動模型相對於光線模型，顯然更加接近光的本質；但是從物理學的發展來說，波動光學旨在解決幾何光學無法解決的問題，可謂光線模型的一種升級。從編程的角度來說，波動光學在某些情況下可以簡單地理解爲在光線模型的基礎上，引入一個相位項。

波動模型

一般來說，三個特徵可以確定空間中的波場：頻率、振幅和相位，故光波場可表示爲：

$E = Acos(\omega t-kr)$

其中，$A$爲振幅，$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$爲角頻率，$k=\frac{2\pi}{\lambda}$，爲波數。由上式可知，當時間固定時，光在傳播方向上有一個正弦波的外形；而對於空間中任意一點，沿着振幅方向則進行簡諧運動。

其中，振幅、波數以及空間位置均爲矢量，當座標比較混亂的時候，也可以寫成$\vec E = \vec{A}cos(\omega t-\vec k\vec r)$；有時爲了計算方便，也可以寫成指數形式

$E = Ae^{-i(\omega t-kr)}$

對於平面波來說，其發散角爲0，即光場中的所有點，都具有統一的傳播方向，且振幅相等。設其傳播方向爲$z$，則可寫爲

$E = Acos(\omega t-kz)$

球面波則相對複雜，令$r$爲空間中任意一點到點光源的距離，則對於$a、b$兩點來說，其單位面積的光通量之比爲$\frac{I_a}{I_b}=\frac{r^2_b}{r^2_a}$，則振幅之比爲$\frac{E_b}{E_a}=\frac{r_a}{r_b}$。這說明球面波振幅反比于波陣面到光源距離，即

$E = \frac{\vec A}{r}e^{-i(\omega t-\vec k\vec r)}$

通過截取$xOz$平面，假設光波長爲532nm,則可以畫出這一截面處的光波振幅圖。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
z = np.arange(15,200)*10    #單位爲nm
x = np.arange(15,200)*10
x,z = np.meshgrid(x,z)      #創建座標系
E = 1/np.sqrt(x**2+z**2)*np.cos(2*np.pi*np.sqrt(x**2+z**2)/(532*1e-9))
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(x,z,E)
plt.show()

其結果如圖所示

相速度

經典的光波公式$E = Acos(\omega t-kr)$表示一個在空間中沿着一個方向傳播的簡諧波。如果現有多個頻率相同的光波共同傳播，那麼由於不同光波之間可能存在相位差，雖然在任意一點上仍舊有着簡諧運動的形式，但在任意時刻，其波峯波谷的位置顯然不同。故可以寫爲

$E=A(\bf{r})\cos(\omega t-g(\bf{r}))$

指數形式爲

$E=A(\bf{r})e^{ig(\bf{r})}e^{-i\omega t}$

其中，$g(r)$爲常數，被稱爲等相位面，等相面並不重合的光波叫做非均勻波，即非均勻波可能在空間上不具備可計算的週期性。除非$\omega t-g(\bf{r})$的全微分爲0，即$\omega dt-\text{grad}g\text{d}\bf{r}=0$。

$\to \frac{\text{d}\bf{r}}{\text{d}t}=\frac{\omega}{\text{grad}g}$

當$\bf{r}$的方向垂直於等相面時，上式數值最小，爲

$v_p(\bf{r})=\frac{\omega}{|\text{grad}g|}$

該式表示各等相位面前進的速度，爲$\textbf{相速度}$。

羣速度

對於平面波來說，$g(\bf r)=k \cdot r-\delta$，則

$v_p=\frac{\omega}{k}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$

當光波是由一羣頻率不同的光的疊加時，相速度便難以衡量光束的傳播特性，也幾乎是不可測的。而真實的光波往往是不同頻率單色波的疊加

$E(\mathbf{r},t)=\int_0^\infty A_\omega(\mathbf{r})[\omega t-g_\omega(\mathbf{r})]$

對於兩個平面單色波來說，如果二者頻率和相位都比較相近，振幅相同，且都沿着$z$軸傳播，則對振幅進行歸一化，上式可以簡化爲

$\begin{aligned} \frac{E(z,t)}{a}=&\cos{(\omega t-kz)}+\cos{[(\omega+\delta\omega)t-(k+\delta k)z]}\\ \to&e^{-i(\omega t-kz)}+e^{-i[(\omega+\delta\omega)t-(k+\delta k)z]}\\ =&2\cos[\frac{1}{2}(t\delta\omega-z\delta k)]e^{-i(\bar\omega t-\bar kz)}\\ \to&2\cos[\frac{1}{2}(t\delta\omega-z\delta k)]\cos{(\bar\omega t-\bar kz)}\\ \text{其中}&\quad\bar\omega=\omega+\frac{1}{2}\delta\omega,\quad \bar k=k+\frac{1}{2}\delta k \end{aligned}$

假設兩列波的波長分別爲532nm和600nm，則在同一時刻，不同位置處的光波振幅可通過python畫出

def wavePacket(d = [532e-9,600e-9]):
    d = np.array(d)
    k = 2*np.pi/d           #波數
    dk = k[0]-k[1]          #波數差
    bk = k[1]+dk/2          #平均波數

    z = np.arange(10000)/1e9  #位置爲0到10um

    E0 = np.cos(-k[0]*z)
    E1 = np.cos(-k[1]*z)
    E = E0+E1
    #E = 2*np.cos(-dk/2*z)*np.cos(-bk*z)

    fig = plt.figure()
    plt.plot(z,E0,'--',color='red',label='E0')
    plt.plot(z,E1,'--',color='blue',label='E1')
    plt.plot(z,E,'-',color='green',label='E')
    plt.legend()
    plt.show()

可見每間隔一段距離或者時間就會出現一個比較大的振幅，其極大間隔可以通過表達式求出

$\delta t = \frac{2\pi}{\bar\omega}\quad\delta z=\frac{2\pi}{\bar k}$

則定義

$v_g=\frac{\delta z}{\delta t}=\frac{\bar\omega}{\bar k}$

爲羣速度，表示波包的傳播速度。