python光學仿真之菲涅耳公式

從物理學的機制出發，波動模型相對於光線模型，顯然更加接近光的本質；但是從物理學的發展來說，波動光學旨在解決幾何光學無法解決的問題，可謂光線模型的一種升級。從編程的角度來說，波動光學在某些情況下可以簡單地理解爲在光線模型的基礎上，引入一個相位項。

波動模型

一般來說，三個特徵可以確定空間中的波場：頻率、振幅和相位，故光波場可表示爲：

$E = Acos(\omega t-kr)$

其中，$A$爲振幅，$\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$爲角頻率，$k=\frac{2\pi}{\lambda}$，爲波數。由上式可知，當時間固定時，光在傳播方向上有一個正弦波的外形；而對於空間中任意一點，沿着振幅方向也呈正弦波的規律上下振動。

其中，振幅、波數以及空間位置均爲矢量，當座標比較混亂的時候，也可以寫成$\vec E = \vec{A}cos(\omega t-\vec k\vec r)$；有時爲了計算方便，也可以寫成指數形式

$E = Ae^{-i(\omega t-kr)}$

對於平面波來說，其發散角爲0，即光場中的所有點，都具有統一的傳播方向，且振幅相等。設其傳播方向爲$z$，則可寫爲

$E = Acos(\omega t-kz)$

球面波則相對複雜，令$r$爲空間中任意一點到點光源的距離，則對於$a、b$兩點來說，其單位面積的光通量之比爲$\frac{I_a}{I_b}=\frac{r^2_b}{r^2_a}$，則振幅之比爲$\frac{E_b}{E_a}=\frac{r_a}{r_b}$。這說明球面波振幅反比于波陣面到光源距離，即

$E = \frac{\vec A}{r}e^{-i(\omega t-\vec k\vec r)}$

通過截取$xOz$平面，假設光波長爲532nm,則可以畫出這一截面處的光波振幅圖。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
z = np.arange(15,200)*10    #單位爲nm
x = np.arange(15,200)*10
x,z = np.meshgrid(x,z)      #創建座標系
E = 1/np.sqrt(x**2+z**2)*np.cos(2*np.pi*np.sqrt(x**2+z**2)/(532*1e-9))
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
ax.plot_surface(x,z,E)
plt.show()

其結果如圖所示

菲涅耳公式

幾何光學可以通過費馬原理得到折射定律，但是無法獲知光波的透過率，菲涅耳公式在幾何光學的基礎上，解決了這個問題。

由於光是一羣橫波的集合，故可以根據其電矢量的震動方向，將其分爲平行入射面與垂直入射面的兩個分量，分別用$p$分量和$s$分量來表示。一束光在兩介質交界處發生折射，兩介質折射率分別爲$n_1$和$n_2$，對於$p$光來說，其電矢量平行於入射面，其磁矢量則垂直於入射面，即只有$s$分量；而對於$s$光來說，則恰恰相反，如圖所示。

則對於$p$光來說即
$\left\{ \begin{aligned} E_p&=E_{p0}e^{i(k(\hat{n}\cdot r)-\omega t)}\\ B_s&=B_{s0}e^{i(k(\hat{n}\cdot r)-\omega t)} \end{aligned}\right.$

在$n_1$、$n_2$平面內，其波數分別爲$k_1=2\pi n_1/\lambda$,$k_1=2\pi n_2/\lambda$，則入射波、反射波和透射波分別可以寫爲
$\left\{ \begin{aligned} E_i&=E_{i0}e^{i[k_1(sin\theta_ix-cos\theta_iy)-\omega t]}\\ E_r&=E_{r0}e^{i[k_1(sin\theta_rx+cos\theta_ry)-\omega t]}\\ E_t&=E_{t0}e^{i[k_2(sin\theta_tx-cos\theta_ty)-\omega t]} \end{aligned}\right.$

其角度關係爲
$\theta_i=\theta_r$

$n_1sin\theta_i=n_2sin\theta_t$

則波數之間的關係爲
$k_1sin\theta_i=k_1sin\theta_r=k_2sin\theta_t$

又因在界面上，反射波和透射波在x軸上的投影必然等於入射波，故對於電矢量而言，有
$cos\theta_iE_{i0}=cos\theta_rE_{r0}+cos\theta_tE_{t0}$

對於磁矢量而言，有
$n_1B_{i0}+n_1B{r0}=n_2B_{t0} \to n_1E_{i0}+n_1E{r0}=n_2E_{t0}$

令振幅反射係數和透射係數分別爲$r_p = \frac{E_{r0}}{E_{i0}},t_p = \frac{E_{t0}}{E_{i0}}$

則有
$\left\{ \begin{aligned} cos\theta_rr_p+cos\theta_tt_p&=cos\theta_i\\ n_1r_p-n_2t_p &= -n_1 \end{aligned}\right.$

s光的計算方法與之類似，最後得到
$\left\{\begin{aligned} r_p&=\frac{n_2cos\theta_i-n_1\sqrt{1-(n_1/n_2)^2sin^2\theta_i}}{n_2cos\theta_i+n_1\sqrt{1-(n_1/n_2)^2sin^2\theta_i}}\\ t_p&=\frac{2n_1cos\theta_i}{n_2cos\theta_i+n_1\sqrt{1-(n_1/n_2)^2sin^2\theta_i}}\\ r_s&=\frac{n_1cos\theta_i-n_2\sqrt{1-(n_1/n_2)^2sin^2\theta_i}}{n_1cos\theta_i+n_2\sqrt{1-(n_1/n_2)^2sin^2\theta_i}}\\ t_s&=\frac{2n_1cos\theta_i}{n_1cos\theta_i+n_2\sqrt{1-(n_1/n_2)^2sin^2\theta_i}} \end{aligned}\right.$

我們可以通過python繪製出當入射光的角度不同時，其振幅反射率和透過率的變化

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def fresnel(theta, n1, n2):
    theta = theta*np.pi/180
    xTheta = np.cos(theta)
    mid = np.sqrt(1-(n1/n2*np.sin(theta))**2)          #中間變量
    rp = (n2*xTheta-n1*mid)/(n2*xTheta+n1*mid)  #p分量振幅反射率
    rs = (n1*xTheta-n2*mid)/(n1*xTheta+n2*mid)
    tp = 2*n1*xTheta/(n2*xTheta+n1*mid)
    ts = 2*n1*xTheta/(n1*xTheta+n2*mid)
    return rp, rs, tp, ts

def testFres(n1=1,n2=1.45):         #默認n2爲1.45
    theta = np.arange(0,90,0.1)+0j
    a = theta*np.pi/180
    rp,rs,tp,ts = fresnel(theta,n1,n2)

    fig = plt.figure(1)
    plt.subplot(1,2,1)
    plt.plot(theta,rp,'-',label='rp')
    plt.plot(theta,rs,'-.',label='rs')
    plt.plot(theta,np.abs(rp),'--',label='|rp|')
    plt.plot(theta,np.abs(rs),':',label='|rs|')
    plt.legend()

    plt.subplot(1,2,2)
    plt.plot(theta,tp,'-',label='tp')
    plt.plot(theta,ts,'-.',label='ts')
    plt.plot(theta,np.abs(tp),'--',label='|tp|')
    plt.plot(theta,np.abs(ts),':',label='|ts|')
    plt.legend()
    plt.show()

if __init__=="__main__":
    testFres()

得到其圖像爲

由於強度與振幅之間存在一個平方的關係，所以強度反射率和透過率爲$|r|^2$、$\frac{n_2}{n_1}|t|^2$。而能流與強度之間還需要除以一個橫截面積，故能流反射率和透過率分別爲：
$\left\{\begin{aligned} R &= |r|^2\\ T &= \frac{n_2cos\theta_t}{n_1cos\theta_i|t|^2} \end{aligned}\right.$

通過python進行繪圖，將上面程序中的testFres改爲以下代碼即可。

def testFres(n1=1,n2=1.45):
    theta = np.arange(0,90,0.1)+0j
    a = theta*np.pi/180
    rp,rs,tp,ts = fml.fresnel(theta,n1,n2)

    Rp = np.abs(rp)**2
    Rs = np.abs(rs)**2
    Rn = (Rp+Rs)/2

    Tp = n2*np.sqrt(1-(n1/n2*np.sin(a))**2)/(n1*np.cos(a))*np.abs(tp)**2
    Ts = n2*np.sqrt(1-(n1/n2*np.sin(a))**2)/(n1*np.cos(a))*np.abs(ts)**2
    Tn = (Tp+Ts)/2

    fig = plt.figure(2)
    plt.subplot(1,2,1)
    plt.plot(theta,Rp,'-',label='R_p')
    plt.plot(theta,Rs,'-.',label='R_s')
    plt.plot(theta,Rn,'-',label='R_n')
    plt.legend()

    plt.subplot(1,2,2)
    plt.plot(theta,Tp,'-',label='T_p')
    plt.plot(theta,Ts,'-.',label='T_s')
    plt.plot(theta,Tn,'--',label='T_n')
    plt.legend()

    plt.show()

得