「樹狀數組」第 1 節：樹狀數組能解決的問題

關鍵詞：位運算、前綴和的查詢與更新。

第 1 節 樹狀數組能解決的問題

樹狀數組，也稱作「二叉索引樹」（Binary Indexed Tree）或 Fenwick 樹。
它能高效地實現下面兩個操作：

• 數組的「前綴和」查詢；
• 數組的「單點更新」。

下面具體解釋這兩個操作。

數組的「前綴和」查詢

首先看下面這個例子，瞭解什麼是數組的前綴和查詢。

例 1

已知數組 arr = [10, 15, 17, 19, 20, 14, 12]，求下標 0 至下標 4 的所有元素的和。
分析：

• 「前綴和」定義了一個數組從「頭」開始的區間，計算的是從下標位置是 0 開始的區間內的所有元素的和；
• 注意：理解「前綴」的意思，下標位置必須從 0 開始計算；
• 其它不是從 0 開始的數組的區間和可以轉化成前面的這個問題。

解：在 Python 語言中，可以使用 sum(arr[0:5]) 得到下標 0 至下標 4 的所有元素的和。
說明：在 Python 的語法中，切片操作不包括結下標的數值，因此 arr[0:5]=[arr[0], arr[1], arr[2], arr[3], arr[4]]。

數組的「單點更新」

例 2

已知數組 [10, 15, 17, 19, 20, 14, 12] 。

• 將下標爲 4 的元素增加 2；
• 將下標爲 6 的元素減少 3。

分析：

• 給出這個例題只是爲了讓大家熟悉這個提法，「單點更新」並不關心這個數「變成了什麼」，它的提法是給出一個數變化了多少，因爲增加一個數等價於減去這個數的相反數，因此以上兩個提法其實可以合併成：將某個下標的元素增加多少；
• 如果我們不使用任何任何數據結構，僅依靠定義，「單點更新」操作的時間複雜度是 $O(1)$，數組的「前綴和」查詢的時間複雜度是 $O(n)$，要掃描這個區間的一大部分元素，才能得到這個區間的和。優化的做法是：先計算出一個“前綴和”數組，這個數組的每個元素的值對應的正是原來數組的前綴和。

例 3

已知數組 arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，計算「前綴和」數組 cumsum(arr)。

分析：根據「前綴和」的定義，容易計算出前綴和數組是 cumsum(arr) = [1, 3, 6, 10, 15, 21, 28]。
Python 代碼：

arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
cumsum = [0] * len(arr)
cumsum[0] = arr[0]
for i in range(1, len(arr)):
    cumsum[i] = cumsum[i - 1] + arr[i]
print(cumsum)

有了「前綴和」數組以後，每次查詢「前綴和」的時間複雜度變成了 $O(1)$，此時計算「區間和」就容易了。

例 4

已知數組 arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] ，求第 3 個元素到第 7 個元素（包括第 7 個元素）的和。

分析：

• 第 3 個元素到第 7 個元素（包括第 7 個元素）的和可以表示爲 sum(arr[2:7])；
• 注意：第幾個元素與下標的序號有一個位置的偏移，並且 Python 中的切片不包含結尾端點）；
• 我們假設我們有了「前綴和」數組，就可以以 $O(1)$ 時間複雜度完成這個問題。
  第 1 個元素到第 7 個元素（包括第 7 個元素）的和可以表示成：

cumsum(arr[0:7]) = nums[0] + nums[1] + nums[2] + nums[3] + nums[4] + nums[5] + nums[6]

第 1 個元素到第 2 個元素（包括第 2 個元素）的和可以表示成：

cumsum(arr[0:2]) = nums[0] + nums[1]

於是第 3 個元素到第 7 個元素（包括第 7 個元素）的和：

sum(arr[2:7]) = cumsum(arr[0:7]) - cumsum(arr[0:2])

那麼問題來了：執行「單點更新」操作，就得更新「前綴和」數組又得計算一次前綴和，時間複雜度爲 $O(n)$。那如果一次業務場景中計算「前綴和」和「單點更新操作」的次數都很多，使用「前綴和」數組就不高效了。而 Fenwick 樹就是一個實現了快速計算「前綴和」和「單點更新」操作這兩個操作的數據結構。

（本節完）