這段日子，空閒的時候在看SICP（Structure and Interpretation of Computer Programs），發現滿有意思的。
剛開始就看到了一個求平方根的算法。滿腦子搜尋，好像從小就沒學過如何計算平方根
，只知道平方根的定義。於是就打算記錄下來。
用牛頓法求解平方根：
輸入：x
輸出：y
要求：(y * y - x) < 0.001 (注：因爲平方根運算一般都牽涉到一個精度的問題）
算法：
1. 猜測一個值作爲y
2. 如果y的精度不夠，則用如下公式改進y：
y = (y + x/y) / 2;
然後重複第二步；
如果y的精度夠了，就輸出y；
不知道上面的表達是不是夠清楚了。下面給出我的程序吧。
#include <iostream>
using namespace std;
double my_abs(double y)
{
if(y < 0)
return (-y);
else
return y;
}
bool good_enough(double guess, double x)
{
return ( my_abs( (guess * guess) - x) < 0.001);
}
double try_sqrt(double guess, double x)
{
if(good_enough(guess, x))
return guess;
else
return try_sqrt( (guess + (x / guess)) / 2.0, x);
}
double my_sqrt(double x)
{
return try_sqrt(1.0, x);
}
int main()
{
cout << my_sqrt(2) << endl;
return 0;
}
當然，可以看到，這裏對於最初的那個猜測的值，取的是1.0，關於這個初始值的取法，不知道有沒有好的方法。另外還有一個問題就是關於如何判斷是否夠精確了。這裏的算法只是判斷該值的平方與那個x的差值是否小於0.001。還有一種判斷方法就是比較上一次的結果和這次的結果的差值，這個方法與上面的那個方法的差別我還沒考慮過。
最後呢，還有一個就是與標準庫的sqrt()函數的比較問題。
上面那個程序的運行結果如下：
1.41422
而標準庫的結果是：
1.41421
不知道標準庫裏是用什麼算法計算的。
另外，如果把那個判斷精度的0.001改成0.0001，好像結果沒有變化。但如果改成0.01的話，就明顯看出結果的誤差，這個算法的結果是：1.41667。另外，如果算36的平方根的時候，取0.01作爲精度的話，結果就有問題了，這個算法的結果是：6.00025，如果取0.001作爲精度，那結果就正確了，嘻嘻~
等那天有空再去看看標準庫的算法吧，懷疑可能就是判斷精度的問題上有區別。呵呵。
哦，還有一個需要記錄的，就是看SICP上的說法，求平方根只是牛頓法的一個特例，它還有求立方根的算法，其普遍形式好像是一個求解方程的算法，等我看了再作記錄吧。
補充：
沒解決問題的情況下，總覺得心有不甘，於是我就又試了一下，這次取相鄰兩次計算值的差來作爲精度的確定，發現結果就和上面的不一樣了，還是先貼程序：
bool good_enough2(double guess1, double guess2)
{
if( my_abs( guess1 - guess2) < 0.01)
return true;
else
return false;
}
double try_sqrt2(double guess, double x)
{
double next_guess = (guess + (x / guess)) / 2.0;
if(good_enough2(next_guess, guess))
return next_guess;
else
return try_sqrt2( next_guess, x);
}
double my_sqrt2(double x)
{
return try_sqrt2(1.0, x);
}
注意到上面我用紅色標註的那個0.01了吧？在前一種算法中，需要0.001才能達到正確精度，而這個算法只需要0.01就可以達到精度了。當然，我這個精度比較是通過求36的平方根來算的。第二個算法裏用0.01就能得到正確的值，而用0.1的話，結果就和第一個算法用0.01的結果一樣了。
不過這裏面的緣由似乎也很簡單吧，因爲後面的算法是直接比較結果值，而前者是比較平方後的結果值，這樣誤差也是有類似於平方關係的吧。就比如現在用的0.01的精度，平方後的精度就是0.0001，比原來的0.001的精度還要高，那結果自然正確。而如果取0.1的話，那麼平方之後是0.01，自然就沒有第一種那麼精確了。
現在我通過測試驗證，第二種算法的和標準庫的結果是一致的，就比如前面測試的求2的平方根，第一種算法得出的結果是1.41422，而標準庫的結果都是1.41421，第二種算法當那個精度值取0.01的時候，結果同第一種算法，而取0.001的時候，結果就與標準庫的相同了。
其實想一下也很簡單，第二種算法比較的是結果的值，其精度是直接取決於那個精度值的，因此精度可以較高。而第一種算法的那個精度值是結果平方後的，也就是需要精度更爲高的值（也就是1之前的0應該更多，呵呵），才能達到高精度。實驗證明，第一種算法取0.00001的時候，仍舊是1.41422，而取0.000001的時候，結果就是1.41422了。
好了，平方根算法也研究得差不多了，至少表面樣子上已經差不多了。如果從效率上來說，兩種算法似乎差不多吧。不過第一種算法“平方之後再比較”應該比第二種算法“直接比較結果”來得慢一些吧，畢竟多了一個乘法運算了。由於數學能力和算法分析能力已經不行了，就不計算複雜度了吧
。
再補充一下：
剛纔這些結果都是用cout的標準輸出精度來看的，所以精確度也就這點了。我剛纔又找了一下標準庫，發現通過std::setprecision() 可以設置輸出的精度。結果就發現問題了，就是最後還是發現了結果不同。而且我那個0.001不管設得再小，也好像和標準庫的結果不一樣，雖然誤差很小很小，不過這又使得我懷疑標準庫的算法還是有所不同。下面是結果：
1.4142135623730949 算法一
1.4142135623730949 算法二
1.4142135623730951 標準庫的算法
上面這個結果是我已經加了好多0的情況下了（具體多少個我也沒數過，反正好多，呵呵）
就先這樣吧。哪天看了標準庫的算法，再做補充吧。