Generative Adversarial Network，就是大家耳熟能詳的 GAN，由 Ian Goodfellow 首先提出，在這兩年更是深度學習中最熱門的東西，彷彿什麼東西都能由 GAN 做出來。我最近剛入門 GAN，看了些資料，做一些筆記。
1.Generation
什麼是生成（generation）？就是模型通過學習一些數據，然後生成類似的數據。讓機器看一些動物圖片，然後自己來產生動物的圖片，這就是生成。
以前就有很多可以用來生成的技術了，比如 auto-encoder（自編碼器），結構如下圖：
你訓練一個 encoder，把 input 轉換成 code，然後訓練一個 decoder，把 code 轉換成一個 image，然後計算得到的 image 和 input 之間的 MSE（mean square error），訓練完這個 model 之後，取出後半部分 NN Decoder，輸入一個隨機的 code，就能 generate 一個 image。
但是 auto-encoder 生成 image 的效果，當然看着很彆扭啦，一眼就能看出真假。所以後來還提出了比如VAE這樣的生成模型，我對此也不是很瞭解，在這就不細說。
上述的這些生成模型，其實有一個非常嚴重的弊端。比如 VAE，它生成的 image 是希望和 input 越相似越好，但是 model 是如何來衡量這個相似呢？model 會計算一個 loss，採用的大多是 MSE，即每一個像素上的均方差。loss 小真的表示相似嘛？
比如這兩張圖，第一張，我們認爲是好的生成圖片，第二張是差的生成圖片，但是對於上述的 model 來說，這兩張圖片計算出來的 loss 是一樣大的，所以會認爲是一樣好的圖片。
這就是上述生成模型的弊端，用來衡量生成圖片好壞的標準並不能很好的完成想要實現的目的。於是就有了下面要講的 GAN。
2.GAN
大名鼎鼎的 GAN 是如何生成圖片的呢？首先大家都知道 GAN 有兩個網絡，一個是 generator，一個是 discriminator，從二人零和博弈中受啓發，通過兩個網絡互相對抗來達到最好的生成效果。流程如下：
主要流程類似上面這個圖。首先，有一個一代的 generator，它能生成一些很差的圖片，然後有一個一代的 discriminator，它能準確的把生成的圖片，和真實的圖片分類，簡而言之，這個 discriminator 就是一個二分類器，對生成的圖片輸出 0，對真實的圖片輸出 1。
接着，開始訓練出二代的 generator，它能生成稍好一點的圖片，能夠讓一代的 discriminator 認爲這些生成的圖片是真實的圖片。然後會訓練出一個二代的 discriminator，它能準確的識別出真實的圖片，和二代 generator 生成的圖片。以此類推，會有三代，四代。。。n 代的 generator 和 discriminator，最後 discriminator 無法分辨生成的圖片和真實圖片，這個網絡就擬合了。
這就是 GAN，運行過程就是這麼的簡單。這就結束了嘛？顯然沒有，下面還要介紹一下 GAN 的原理。
3.原理
首先我們知道真實圖片集的分佈 Pdata(x)，x 是一個真實圖片，可以想象成一個向量，這個向量集合的分佈就是 Pdata。我們需要生成一些也在這個分佈內的圖片，如果直接就是這個分佈的話，怕是做不到的。
我們現在有的 generator 生成的分佈可以假設爲 PG(x;θ)，這是一個由 θ 控制的分佈，θ 是這個分佈的參數（如果是高斯混合模型，那麼 θ 就是每個高斯分佈的平均值和方差）
假設我們在真實分佈中取出一些數據，{x1, x2, ... , xm}，我們想要計算一個似然 PG(xi; θ)。
對於這些數據，在生成模型中的似然就是
我們想要最大化這個似然，等價於讓 generator 生成那些真實圖片的概率最大。這就變成了一個最大似然估計的問題了，我們需要找到一個 θ* 來最大化這個似然。
尋找一個 θ* 來最大化這個似然，等價於最大化 log 似然。因爲此時這 m 個數據，是從真實分佈中取的，所以也就約等於，真實分佈中的所有 x 在 PG 分佈中的 log 似然的期望。
真實分佈中的所有 x 的期望，等價於求概率積分，所以可以轉化成積分運算，因爲減號後面的項和 θ 無關，所以添上之後還是等價的。然後提出共有的項，括號內的反轉，max 變 min，就可以轉化爲 KL divergence 的形式了，KL divergence 描述的是兩個概率分佈之間的差異。
所以最大化似然，讓 generator 最大概率的生成真實圖片，也就是要找一個 θ 讓 PG 更接近於 Pdata。
那如何來找這個最合理的 θ 呢？我們可以假設 PG(x; θ) 是一個神經網絡。
首先隨機一個向量 z，通過 G(z)=x 這個網絡，生成圖片 x，那麼我們如何比較兩個分佈是否相似呢？只要我們取一組 sample z，這組 z 符合一個分佈，那麼通過網絡就可以生成另一個分佈 PG，然後來比較與真實分佈 Pdata。
大家都知道，神經網絡只要有非線性激活函數，就可以去擬合任意的函數，那麼分佈也是一樣，所以可以用一直正態分佈，或者高斯分佈，取樣去訓練一個神經網絡，學習到一個很複雜的分佈。
如何來找到更接近的分佈，這就是 GAN 的貢獻了。先給出 GAN 的公式：
這個式子的好處在於，固定 G，max V(G,D) 就表示 PG 和 Pdata 之間的差異，然後要找一個最好的 G，讓這個最大值最小，也就是兩個分佈之間的差異最小。
表面上看這個的意思是，D 要讓這個式子儘可能的大，也就是對於 x 是真實分佈中，D(x) 要接近與 1，對於 x 來自於生成的分佈，D(x) 要接近於 0，然後 G 要讓式子儘可能的小，讓來自於生成分佈中的 x，D(x) 儘可能的接近 1。
現在我們先固定 G，來求解最優的 D：
對於一個給定的 x，得到最優的 D 如上圖，範圍在 (0,1) 內，把最優的 D 帶入
可以得到：
JS divergence 是 KL divergence 的對稱平滑版本，表示了兩個分佈之間的差異，這個推導就表明了上面所說的，固定 G。
表示兩個分佈之間的差異，最小值是 -2log2，最大值爲 0。
現在我們需要找個 G，來最小化
觀察上式，當 PG(x)=Pdata(x) 時，G 是最優的。
4.訓練
有了上面推導的基礎之後，我們就可以開始訓練 GAN 了。結合我們開頭說的，兩個網絡交替訓練，我們可以在起初有一個 G0 和 D0，先訓練 D0 找到 ：
然後固定 D0 開始訓練 G0， 訓練的過程都可以使用 gradient descent，以此類推，訓練 D1,G1,D2,G2,...
但是這裏有個問題就是，你可能在 D0* 的位置取到了：
然後更新 G0 爲 G1，可能
了，但是並不保證會出現一個新的點 D1* 使得
這樣更新 G 就沒達到它原來應該要的效果，如下圖所示：
避免上述情況的方法就是更新 G 的時候，不要更新 G 太多。
知道了網絡的訓練順序，我們還需要設定兩個 loss function，一個是 D 的 loss，一個是 G 的 loss。下面是整個 GAN 的訓練具體步驟：
上述步驟在機器學習和深度學習中也是非常常見，易於理解。
5.存在的問題
但是上面 G 的 loss function 還是有一點小問題，下圖是兩個函數的圖像：
log(1-D(x)) 是我們計算時 G 的 loss function，但是我們發現，在 D(x) 接近於 0 的時候，這個函數十分平滑，梯度非常的小。這就會導致，在訓練的初期，G 想要騙過 D，變化十分的緩慢，而上面的函數，趨勢和下面的是一樣的，都是遞減的。但是它的優勢是在 D(x) 接近 0 的時候，梯度很大，有利於訓練，在 D(x) 越來越大之後，梯度減小，這也很符合實際，在初期應該訓練速度更快，到後期速度減慢。
所以我們把 G 的 loss function 修改爲
這樣可以提高訓練的速度。
還有一個問題，在其他 paper 中提出，就是經過實驗發現，經過許多次訓練，loss 一直都是平的，也就是
JS divergence 一直都是 log2，PG 和 Pdata 完全沒有交集，但是實際上兩個分佈是有交集的，造成這個的原因是因爲，我們無法真正計算期望和積分，只能使用 sample 的方法，如果訓練的過擬合了，D 還是能夠完全把兩部分的點分開，如下圖：
對於這個問題，我們是否應該讓 D 變得弱一點，減弱它的分類能力，但是從理論上講，爲了讓它能夠有效的區分真假圖片，我們又希望它能夠 powerful，所以這裏就產生了矛盾。
還有可能的原因是，雖然兩個分佈都是高維的，但是兩個分佈都十分的窄，可能交集相當小，這樣也會導致 JS divergence 算出來 =log2，約等於沒有交集。
解決的一些方法，有添加噪聲，讓兩個分佈變得更寬，可能可以增大它們的交集，這樣 JS divergence 就可以計算，但是隨着時間變化，噪聲需要逐漸變小。
還有一個問題叫 Mode Collapse，如下圖：
這個圖的意思是，data 的分佈是一個雙峯的，但是學習到的生成分佈卻只有單峯，我們可以看到模型學到的數據，但是卻不知道它沒有學到的分佈。
造成這個情況的原因是，KL divergence 裏的兩個分佈寫反了
這個圖很清楚的顯示了，如果是第一個 KL divergence 的寫法，爲了防止出現無窮大，所以有 Pdata 出現的地方都必須要有 PG 覆蓋，就不會出現 Mode Collapse。
6.參考
這是對 GAN 入門學習做的一些筆記和理解，後來太懶了，不想打公式了，主要是參考了李宏毅老師的視頻：