控制作業①

• 測試：g∗(t)=∑∞k=0[1(kT)−e−10t]z−k

Problem 1

• (a). 令
  f(t)={0,tT,t<0t≥0
  則原函數可表達爲
  g(t)=f(t)−f(t−T)
  其拉氏變換爲
  G(s)=F(s)−e−TsF(s)=1s2T−e−Tss2T=1−e−Tss2T
• (b). 令
  f(t)={0,tT,t<0t≥0
  則函數可表達爲
  g(t)=f(t)−f(t−T)−1(t−T)
  拉氏變換爲
  G(s)=F(s)–e−Ts×F(s)−1s×e−Ts=1s2×T–e−Ts×1s2×T−1s×e−Ts=1−sTe−Ts–e−Tss2T

Problem 2

• (a)因爲
  L(f′(t))=sF(s)−f(0)
  對原方程兩邊同時作拉氏變換，得：
  TsX(s)−TX(0)+X(s)=1
  於是
  X(s)=1+TX(0)1+sT=1+TX(0)T×1s+1T
  最後作拉氏反變換即得：
  x(t)=1+TX(0)Te−tT
• (b)考慮到窩們只有一階微分的定理公式，這裏需要多做一個工作。首先令
  y(t)=x′(t)=dxdt
  帶入得：
  y′(t)+2y(t)+∫y(t)dt=1(t)
  然後利用一階的積分定理和一階的微分定理就可以愉快地求解啦！第一次可以求出
  y(t)=y(0)e−t+[1+y−1(0)−y(0)]te−t
  再搞一次，可以發現最後的反變換分母部分出現了3 次冪次。。。去屎吧。。。事實上可以直接對二階微分作拉氏變換，但是還是出現了3 次冪次。。。不搞了= =

Problem 3

• 方框圖化簡要領：串聯、並聯和反饋用於處理移動分支點和相加點後的“後續工作”，因此主要就是分支點和相加點的移動，在移動前後，由於認爲信號在分支處不損失，只需要保證後流通原結點（原分支點或者原相加點）及“下游”（將信號流動看做水流，這裏便可以認爲箭頭由“上游”指向“下游”）的信號成分不變即可，請想象每個輸入端爲一個排水口，且各排水口排出的水顏色不同，上面的轉換事實上就是要保證變化前後每個小反饋系統以及整個系統最後流出的水顏色相同。根據這個思想，也便可以處理多反饋交叉的問題惹~~~