計蒜客 - 闖關遊戲 | SPFA

今天分享一道有關 SPFA 單源最短路的算法題。

蒜頭君在玩一個很好玩的遊戲，這個遊戲一共有至多 $100$ 個地圖，其中地圖 $1$ 是起點，房間 $n$ 是終點。有的地圖是補給站，可以加 $k_i$ 點體力，而有的地圖裏存在怪物，需要消耗 $k_i$ 點體力，地圖與地圖之間存在一些單向通道鏈接。 蒜頭君從 $1$ 號地圖出發，有 $100$ 點初始體力。每進入一個地圖的時候，需要扣除或者增加相應的體力值。這個過程持續到走到終點，或者體力值歸零就會 Game Over。不過，他可以經過同個地圖任意次，且每次都需要接受該地圖的體力值。

輸入格式

第 $1$ 行一個整數 $n$ ($n\leq 100$)。

第 $2$ ~ $n+1$ 行，每行第一個整數表示該地圖體力值變化。接下來是從該房間能到達的房間名單，第一個整數表示房間數，後面是能到達的房間編號。

5
0 1 2
-60 1 3
-60 1 4
20 1 5
0 0

輸出格式

若玩家能到達終點，輸出 Yes，否則輸出 No。

No

首先我們來看一下什麼是 SPFA。

衆所周知，Dijkstra 算法不能處理有負權的圖，而 Bellman-ford 算法通過對圖進行 $|V| - 1$ 次鬆弛操作，得到所有可能的最短路徑，而 SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）通常被認爲是 Bellman-ford 算法的隊列優化，在代碼形式上接近於寬度優先搜索 BFS，是一個在實踐中非常高效的單源最短路算法。

需要指出的是，SPFA 的本質是 Bellman-ford 算法的隊列優化，由於 SPFA 沒有改變 Bellaman-ford 的時間複雜度，國外一般來說不認爲 SPFA 是一個新的算法，而僅僅是 Bellman-ford 的隊列優化。

在一定程度上，可以認爲 SPFA 是由 BFS 的思想轉化而來：從不含邊權或者說邊權爲 1 個單位長度的圖上的 BFS，推廣到帶權圖上，就得到了 SPFA。SPFA 與 BFS 的不同在於，BFS 中一個點出了隊列就不可能重新進入隊列，但是 SPFA 中一個點可能在出隊列之後再次被放入隊列，也就是一個點改進過其它的點之後，過了一段時間可能本身被改進，於是再次用來改進其它的點，這樣反覆迭代下去。

SPFA 可以處理任意不含負環（負環是指總邊權和爲負數的環）的圖的最短路，並能判斷圖中是否存在負環。

有了 BFS 的基礎，我們很容易得到 SPFA 的算法描述：

1. d[i] 表示從源點 $s$ 到頂點 $i$ 的最短路，隊列 q 保存即將進行拓展的頂點列表，inq[i] 標識頂點 $i$ 是不是在隊列中；

2. 初始隊列中僅包含源點 $s$，且源點 $s$ 的 d[s] = 0。

3. 取出隊列頭頂點 $u$，掃描從頂點 $u$ 出發的每條邊，設每條邊的另一端爲 $v$，邊 <u,v> 權值爲 $w$，若 d[u] + w < d[v]，則 將 d[v] 修改爲 d[u] + w，若 $v$ 不在隊列中，則將 $v$ 入隊。重複步驟直到隊列爲空。

4. 最終 d[] 數組就是從源點出發到每個頂點的最短路距離。如果一個頂點從沒有入隊，則說明沒有從源點到該頂點的路徑。

void spfa(int s) {
    memset(inq, 0, sizeof(inq));
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    d[s] = 0;
    inq[s] = true;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        inq[u] = false;
        for (int i = p[u]; i != -1; i = e[i].next) {
            int v = e[i].v;
            if (d[u] + e[i].w < d[v]) {
                d[v] = d[u] + e[i].w;
                if (!inq[v]) {
                    q.push(v);
                    inq[v] = true;
                }
            }
        }
    }
}

在進行 SPFA 時，用一個數組 cnt[i] 來標記每個頂點入隊次數。如果一個頂點入隊次數 cnt[i] 大於頂點總數 $n$，則表示該圖中包含負環。

很顯然，SPFA 的空間複雜度爲 $\mathcal{O}(V)$。如果頂點的平均入隊次數爲 $k$，則 SPFA 的時間複雜度爲 $\mathcal{O}(kE)$，對於較爲隨機的稀疏圖，根據經驗 $k$ 一般不超過 $4$。

對於稀疏圖而言，SPFA 相比堆優化的 Dijkstra 有很大的效率提升，但是對於稠密圖而言，SPFA 最壞爲 $\mathcal{O}(VE)$，遠差於堆優化 Dijkstra 的 $\mathcal{O}((V+E)logV)$。

在看完了 SPFA 之後，這道題就比較容易了。

在套用 SPFA 模板的時候，注意要初始化 d[] 數組爲負無窮大，並設置起點的體力值爲 d[s] = 100。

然後在 SPFA 的判斷條件中 if (d[u] + e[i].w < d[v]) 改成 if (d[u] + e[i].w > d[v]) 因爲我們需要保留體力最大的。

另外在每一個點入隊以後，令 cnt[i]++，若等於 $n$，說明有環，那麼蒜頭君就可以無限制地往這個點走，最終體力爲無窮大，再也不需要考慮其他點的體力值了，因此一定可以走到終點。所以直接 return，並直接輸出 Yes。

最後的輸出結果就是 d[n] > 0。

完整代碼參見：https://www.jxtxzzw.com/archives/5265