計蒜客 – 蒜頭君的銀行卡 | SPFA – 差分約束系統

計蒜客 – 蒜頭君的銀行卡 | 算盡天下系列第 10 期 | SPFA – 差分約束系統

上一期，長老向大家分享了一個跟 BFS 很像的、可以求解負環的單源最短路算法 SPFA，今天，讓我們來看一下 SPFA 在求解差分約束系統時的力量吧。

如果一個不等式組由 $n$ 個變量和 $m$ 個約束條件組成，且每個約束條件都是形如 $x_i-x_j\leq k,1\leq i,j\leq n$ 的不等式，則稱其爲差分約束系統 (system of difference constraints)。

差分約束系統是求解一組變量的不等式組的算法，是最短路的一類經典應用。

爲什麼說它是最短路的一類經典應用呢？第一眼看過去難道不是一個數學問題嗎？實際上，我們在求解差分約束系統時，可以將其轉化爲圖論中單源最短路（或最長路）問題。

在求解最短路問題時，我們經常寫的一個不等式是 $d_u+w_{u,v} \geq d_v$，移項可得 $d_v-d_u\leq w_{u,v}$，這類似於不等式組中的 $x_j-x_i\leq k$。所以我們可以理解成從頂點 $u$ 到頂點 $v$ 連一條權值爲 $w_{u,v}$ 的邊，用最短路算法得到最短路的答案 $d_i$，也就求出了原不等式組的一個解。

因此我們可以將每個變量 $x_i$ 作爲一個頂點，對於約束條件 $x_j-x_i\leq k$，連接一條邊權爲 $k$ 的有向邊 <i, j> 。

連邊有兩種方式，第一種是連邊後求最長路，第二種是連邊後求最短路。

對於 $x_j - x_i \leq k$，若求最長路，則變形爲 $x_j -k\leq x_i$，從 $j$ 到 $i$ 連一條權值爲 $k$ 的邊；若求最短路，則變形爲 $x_i+k\geq x_j$，從 $i$ 到 $j$ 連一條權值爲 $k$ 的邊。

我們再增加一個超級源 $s$，$s$ 連向其餘每個頂點，邊權均爲 $0$。

對這個圖執行單源最短路算法，如果程序正常結束，那麼得到的最短路答案數組 d[i] 就是滿足條件的一組解；若圖中存在負環，則該不等式組無解。

考慮到差分約束系統的邊權可能爲負，我們套用前面介紹的 SPFA 算法可解決這個問題。

在學習了使用 SPFA 求解差分約束系統之後，讓我們來看一道例題，“計蒜客”的“蒜頭君的銀行卡”。

雖然蒜頭君並沒有多少錢，但是蒜頭君辦了很多張銀行卡，共有 $n$ 張，以至於他自己都忘記了每張銀行卡里有多少錢了。

他只記得一些含糊的信息，這些信息主要以下列三種形式描述：

1. 銀行卡 $a$ 比銀行卡 $b$ 至少多 $c$ 元。

2. 銀行卡 $a$ 比銀行卡 $b$ 至多多 $c$ 元。

3. 銀行卡 $a$ 和銀行卡 $b$ 裏的存款一樣多。

但是由於蒜頭君的記憶有些差，他想知道是否存在一種情況，使得銀行卡的存款情況和他記憶中的所有信息吻合。

輸入格式

第一行輸入兩個整數 $n$ 和 $m$，分別表示銀行卡數目和蒜頭君記憶中的信息的數目。$(1\leq n,m\leq 10000)$

接下來 $m$ 行：

• 如果每行第一個數是 $1$，接下來有三個整數 $a, b, c$，表示銀行卡 $a$ 比銀行卡 $b$ 至少多 $c$ 元。

• 如果每行第一個數是 $2$，接下來有三個整數 $a, b, c$，表示銀行卡 $a$ 比銀行卡 $b$ 至多多 $c$ 元。

• 如果每行第一個數是 $3$，接下來有兩個整數 $a, b$，表示銀行卡 $a$ 和 $b$ 裏的存款一樣多。$(1\leq n,m,a,b,c\leq 10000)$

3 3
3 1 2
1 1 3 1
2 2 3 2

輸出格式

如果存在某種情況與蒜頭君的記憶吻合，輸出 Yes，否則輸出 No。

Yes

這道題唯一的難點在於將不等式的表達形式轉換成圖中的邊，一旦正確地插入了邊，那麼直接套用 SPFA 的模板就可以了，不需要做任何其他的修改。

我們先來分析一下 $a$ 和 $b$ 中錢一樣多的情況。若 $a = b$，則等價於 $a \leqslant b $ 且 $ b \leqslant a$，那麼我們可以往圖中插入一條從 $a$ 到 $b$ 的權重爲 $0$ 的邊，以及一條從 $b$ 到 $a$ 的權重爲 $0$ 的邊。

if (type == 3) {
	// (a == b) 等價於 (a <= b && b <= a)
	insert(a, b, 0);
	insert(b, a, 0);
}

若 $a$ 比 $b$ 至少多 $c$ 元，那麼有 $a - b \geqslant c$，移項得到 $b - a \leqslant -c$，即 $a + (-c) \geqslant b$，對照上面的公式可以發現，應該從 $a$ 到 $b$ 連一條權值爲 $-c$ 的邊，求最短路；類似地，若 $a$ 比 $b$ 至多多 $c$ 元，那麼 $a - b \leqslant c$ 可得 $b + c >= a$，從 $b$ 到 $a$ 連一條權值爲 $c$ 的邊，求最短路。

if (type == 1) {
	// a 比 b 至少多 c 元：(a - b >= c) => (b - a <= -c) => (a + (-c) >= b)，從 a 到 b 連一條權值爲 -c 的邊，求最短路
	insert(a, b, -c);
} else {
	// a 比 b 至多多 c 元：(a - b <= c) => (a - c <= b) => (b + c >= a)，從 b 到 a 連一條權值爲 c 的邊，求最短路
	insert(b, a, c);
}

在正確插入所有的邊以後，加上一個超級源：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    insert(0, i, 0); // 插入超級源，連向每一個點，權重爲 0
}

並且在 SPFA 的模板中修改 cnt[v] == n 時的情況：

if (cnt[v] == n + 1) {
	// 因爲加入了超級源點，所以一共是 n + 1 個點
	// 出現負環，不等式組無解
	printf("No");
	exit(0);
}

其餘的部分均直接套用 SPFA 模板，模板代碼可參見前一篇文章。

完整代碼見：https://www.jxtxzzw.com/archives/5268