計蒜客 - 排序

計蒜客 排序

題目描述

你需要分析排序算法，將 $n$ 個互不相同的整數，通過交換兩個相鄰的元素使得數列有序的 最少交換次數。
比如，原數列爲： $9,1,0,5,4$ 排序後的數列爲： $0,1,4,5,9$。

樣例

輸入格式
第一行一個整數 $n(n\leq500000)$。
接下來 $n$ 行，每行一個整數 $a_i(a_i\leq10^9)$。

5
9
1
0
5
4

輸出格式
輸出一個整數，表示操作次數。

6

算法與數據結構

樹狀數組
離散化

題解

這是一道用樹狀數組做的題，還要用到離散化的技巧。

一次有效的交換意味着什麼呢？

爲了使序列有序，一次有效的交換應該是後一個較小的數與他前一個較大的數交換，那麼單獨一個數字的交換次數，應該是這個數字前面比它大的數字的個數。

換句話說，當一個數字出現的時候，出現在它左邊且比它大的數字的個數，就是當出現到這個數字爲止（這個數字右邊的數字還沒出現）時，這個數字要到正確位置上交換的次數。

對每一個位置上的數字累加這樣的次數，就是答案。

更一般的，令初始 sum = 0，對於第 i 個數字，出現在它左邊且比它大的數字的個數如果是 x，就令 sum += x，遍歷所有的數字，最後得到的累加和，就是答案。

現在剩一個問題：怎麼知道出現在左邊的、比自己大的數字有多少？
對於遍歷到的第 i 個數字（記爲 x），如果在遇到它的時候，單點更新樹狀數組 change(x)，改變的動作是加 1，即計數，即令 x 出現的次數加 1，那麼，對於 getSum(x) 操作，就是求出從 1 到 x 的數字一共出現了多少次，即，不小於 x 的數字有多少個。

當我們得知了這個結果以後，由於出現在 x 右邊的數字是還沒有遇到的，所以，不小於 x 的數字都出現在 x 的左邊，那就可以簡單地使用 i + 1 - getSum(x) 得到出現在 x 左邊、比自己大的數字的個數。

這個公式是顯然成立的：對於第 i 個數字，目前已經出現的所有數字一共是 i + 1 個，在這些數字裏，不小於 x 的有 getSum(x) 個，所以，大於 x 的有 i + 1 - getSum(x) 個。並且，這些數字要麼是 x 本身，要麼出現在 x 的左邊。

累加所有的 i + 1 - getSum(x)，得到答案。

scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &x);
    change(x); // 更新樹狀數組，記下新的數 x
    ans += i + 1 - getSum(x);
    // getSum(x) 是已出現的（在 x 左邊的）小於等於 x 的數
    // x 在第 i + 1 位，它和它的左邊有 i + 1 個數
    // 所以它左邊比它大的數有 i + 1 - getSum(x) 個，有那麼多個逆序對，就需要交換那麼多次
}
printf("%d", ans);

但是，由於數字範圍實在是太大了，我們需要用到離散化的技巧，即將大範圍的數字映射到小範圍，因爲我們只關心數字之間值的大小關係，而不關心具體的數值。

for (int i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &x[i]);
    dis[i] = x[i]; // 讀入數據，複製一份以便離散化處理
}

對於 C++，可以使用 unique() 函數來去重，首先對 dis數組排序，然後去重，得到去重後的長度 length。在去重後的數組中，用二分查找 x[i] 所在的位置，並用這個位置作爲 x[i] 離散化後的值。

sort(dis, dis + n); // 對數據排序
int length = unique(dis, dis + n) - dis; // 利用 unique 去重，使大小與下標對應，並得到去重後的長度
for (int i = 0; i < n; i++) {
    int index = lower_bound(dis, dis + length, x[i]) - dis; // 在去重後的數組中，使用二分查找找到 x[i] 所在位置
    x[i] = index + 1; // 用這個位置作爲離散後的值，由於樹狀數組下標從 1 開始，因此加 1
}

之後的操作與之前類似，遍歷 x 數組，change(x[i])，並計算 ans += i + 1 - getSum(x[i])。

最後要注意一下，ans 是 long long 範圍的。

以及提一句，unique 和 lower_bound 返回值都是 long long int，直接降級到 int 是一種不好的做法。

完整代碼

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n = 0;
const int MAX_N = 500007;
int C[MAX_N] = {0}; // 樹狀數組
int x[MAX_N] = {0}; // 記錄原始數據
int dis[MAX_N] = {0}; // 離散化數據
long long ans = 0;

int lowBit(int x) {
    return x & -x; // return x & (x ^ (x - 1))
}

int getSum(int x) {
    int res = 0;
    while (x != 0) {
        res += C[x];
        x -= lowBit(x);
    }
    return res;
}

void change(int x) {
    while (x <= MAX_N) {
        C[x]++;
        x += lowBit(x);
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &x[i]);
        dis[i] = x[i]; // 讀入數據，複製一份以便離散化處理
    }
    sort(dis, dis + n); // 對數據排序
    int length = unique(dis, dis + n) - dis; // 利用 unique 去重，使大小與下標對應，並得到去重後的長度
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int index = lower_bound(dis, dis + length, x[i]) - dis; // 在去重後的數組中，使用二分查找找到 x[i] 所在位置
        x[i] = index + 1; // 用這個位置作爲離散後的值，由於樹狀數組下標從 1 開始，因此加 1
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        change(x[i]); // 更新樹狀數組，記下新的數 x
        ans += i + 1 - getSum(x[i]);
        // getSum(x) 是已出現的（在 x 左邊的）小於等於 x 的數
        // x 在第 i + 1 位，它和它的左邊有 i + 1 個數
        // 所以它左邊比它大的數有 i + 1 - getSum(x) 個，有那麼多個逆序對，就需要交換那麼多次
    }
    printf("%lld", ans);

    return 0;
}

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