【LeetCode】劍指DP：72. Edit Distance 修改字符串

一、概述

只看這個題目，修改字符串，感覺很抽象，不好理解。我也想不到什麼好的。先描述一下：

輸入兩個字符串word1和word2，我們的目標是，把word1轉化成word2。我們有三個技能：

第一個：把一個字符變成另一個字符；

第二個：刪去一個字符；

第三個：添加一個字符。

目標就是費最少的藍，用最少的技能轉化完成。比如說我輸入的word1是“horse”，word2是“ros”。

那麼，先用技能二，刪去h變成orse；然後用技能二，刪去o變成rse；然後用技能二，刪去e變成rs；然後用技能三，插入o變成ros。一共用了四次技能——然而這不是最少的。

最少的應該是：先用技能一，把h轉化爲r變成rorse；然後用技能二，刪去第二個r變成rose；然後用技能二，刪去e變成ros。

有點複雜。

二、分析

我第一眼看到這個題目是一臉懵逼的。不知道怎麼做。然後着手去驗證了一下樣例，發現我得到的是4而不是3。然後就卡住了：手動都做不出，那還談何想算法。

然後我敏銳的思維告訴我，丫的這題八成是DP。

DP？怎麼DP啊？雖說兩個字符串互相搞一搞，最適合DP做，但是我現在還是一頭霧水。

怎麼辦呢？先在紙上寫一寫吧。

	h	o	r	s	e
r
o
s

往裏面填什麼呢？呆住了。

先看看座標爲（0,0）的。對應的是h和r。我們嘗試給這個格子代表的元素下一個定義：

這個格子代表h想變成r，需要用幾次技能。

很明顯，用一次一技能。

那（0,1）呢？代表o變成r用幾次技能麼？那也沒意義啊，一個字符變成一個字符，要是一樣就不變；不一樣就用一次一技能就完事，這表格有個卵子用。

看來不是o變成r。那看成ho變成r怎麼樣？那就是兩次技能，一次技能二一次技能一。要是這樣，那好像就有點意思了：第一行的第i個格子代表word1的前i個元素需要使用多少次技能變成word2的第1個元素。

這好像就有用了。先把第一行做完。

	h	o	r	s	e
r	1	2	2	3	4
o
s

然後看第二行。（1,0）代表什麼？代表h怎麼變成o麼？不是的，這和DP的小問題推進爲大問題相悖。這代表h怎麼變成ro。需要兩次技能。那ho變成ro呢？一次技能啊。這樣我們可以寫下第二行。

	h	o	r	s	e
r	1	2	2	3	4
o	2	1	2	3	4
s

等一下，我們肉眼看完了第二行的結果。但是還沒找到規律。來看看：

（1,1）爲1，爲什麼爲1？因爲只要用一次技能。那這個1通過表格上的數據能不能推出來？我們看一下：

（0,0）表示h需要一次技能變成r，（1,1）表示ho需要1次技能變成ro。爲什麼是一次呢？因爲o=o嘛。還挺可愛。

這樣我們就找到了一個遞推式子：DP[i][j]=DP[i-1][j-1]+word1[j]==word2[i]?0:1

這個式子原理是這樣的：我想知道ho如何變成ro，我現在已經知道h如何變成r，只需要知道o如何變成o就可以了。

這樣就把一個複雜的問題變簡單了。再看（1,2）我想知道hor怎麼變成ro，我已經知道ho變成r需要兩次技能，現在r變成o需要一次技能，因此一共應該是三次啊，怎麼是兩次呢？

來看看哪裏錯了：我們用上面的DP式子，是默認兩個子串hor和ro中，ho與r對應，r和o對應；但真的要這麼對應麼？這麼對應，那麼只會用到技能一啊。爲什麼只用到技能一？因爲r和o不一樣，所以要用技能一轉換成一樣的；要是一樣，就不轉換。按我們先前的思路，就相當於只用了這一個技能。所以不對了。

那麼如何修改思路，使得技能二和技能三也能用呢？

那就得分析爲什麼（1,2）等於2了。在hor和ro中，我們讓兩個o對應，那麼hor的h對應ro的r；hor的r沒人對應，就得用技能二刪去。噢~這樣我們就用到技能二了。關鍵就在於並不一定是兩個子串的最後一個對應。如何在公式中體現這一點呢？

我們來看，讓兩個o對應，讓h和r對應，本質上就是ho對應ro，這對應DP[i][j-1]，那麼我們的結果就是DP[i][j-1]+1，加的這個1是用一次技能二。

現在公式變成這樣：

DP[i][j]=min(DP[i-1][j-1]+word1[j]==word2[i]?0:1,DP[i][j-1]+1)

然後開始填第三行：

	h	o	r	s	e
r	1	2	2	3	4
o	2	1	2	3	4
s	3	2	2	2	3

等一下，爲什麼(2,1)這個地方是2，根據我們上面的公式，s和o不相等，那麼是2+1和3+1比啊。怎麼也不是2。

因爲我們在公式2中沒用過技能三啊，公式還是殘缺的，所以不對。

這個2怎麼來的呢？我們要想讓ho變成ros，就讓ho變成ro，然後在後面加上s，這樣一次技能一，一次技能三得到ros。公式中沒體現這個。怎麼體現？

這時ho和ro匹配，用的是DP[i-1][j]，我們的結果就是DP[i-1][j]+1，這個加的1就是用一次技能三。公式變成這樣：

DP[i][j]=min(DP[i-1][j-1]+word1[j]==word2[i]?0:1,DP[i][j-1]+1,DP[i-1][j]+1)

這下公式把三種技能都包括了。完美。

於是我們就得到了最後的DP公式。代碼如下：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        if(word1.size()==0)
            return word2.size();
        if(word2.size()==0)
            return word1.size();
        vector<vector<int>> DP(word2.size(), vector<int>(word1.size(), 0));
        DP[0][0]=word1[0]==word2[0]?0:1;
        int flag=word1[0]==word2[0];
        for(int i=1;i<word1.size();++i)
        {
            flag=flag==0?word1[i]==word2[0]:1;
            DP[0][i]=i+1-flag;
        }
        flag=word1[0]==word2[0]?1:0;
        for(int j=1;j<word2.size();++j)
        {
            for(int i=0;i<word1.size();++i)
            {
                if(i==0)
                {
                    flag=flag==0?word1[i]==word2[j]:1;
                    DP[j][i]=j+1-flag;
                }
                else
                {
                    DP[j][i]=min(DP[j-1][i]+1,DP[j][i-1]+1);
                    int tmp=word1[i]==word2[j]?0:1;
                    DP[j][i]=min(DP[j][i],DP[j-1][i-1]+tmp);
                }
            }
        }
        return DP[word2.size()-1][word1.size()-1];
    }
};

三、總結

這道DP題在最開始着實把我嚇唬住了。但當我畫出表格以後，就一步一步將題目解出來了。關鍵是通過自己的手動計算得到正確結果。這個正確結果的計算過程就是算法。如果一步沒法得到完整的計算過程，可以先用肉眼看，寫出幾行，然後再分析。通過找出計算結果和肉眼看出結果的矛盾點，一步一步優化算法，從而得到最後結果。