【LeetCode】剑指DP：62. Unique Paths 寻找路径

一、概述

输入m、n两个整数，形成一个m*n的阵列，从左上角座标为(1,1)走到右下角座标为(m,n)的格子。输出不同的路径数。

这么说吧，能做出来的都是击败100%。

我唯一要吐槽的就是它题目中说m<100,n<100，然后我就用m=100和n=100测试是否溢出和是否TLE了。结果在testcase中根本没这个。坑死我了。

二、分析

1、数学方法

最开始我用DFS，m，n为十几的时候就开始TLE。

然后反应过来是组合数，就是m+n-2个选n-1个。问题来了，这组合数要用到阶乘，阶乘的增长速度是要比指数还要高的，如何避免溢出呢？先算分子再算分母再除的方法肯定是不行了，必定溢出。那怎么办？

我们有如下定理：

那么我们一定有是整数，是整数，第一个不用证明，第二个分子肯定是奇数乘偶数，那么除以二一定是整数，之后我们不会证明，但只要知道，递推下去每个分数都能整除，那么就是乘一个除一个乘一个除一个，不会溢出。代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m <=0 || n <= 0) return 0;
        long long res = 1;
        for(int i = n; i < m+n-1 ; i++){
            res = res * i / (i- n + 1);
        }
        return (int)res;
    }
};

2、DP

既然可以用DP做，那么就一定有递推公式咯。我们来看一下：

假设从(1,1)到(i,j)共有k条路径，那么我们可以知道什么？

首先，到(i,j+1)至少有k条路径，这k条是由(i,j)得到的，(i,j)右移一个就得到了该路径。既然是至少，那就还有另外的路径：到(i,j+1)，还可以通过(i,j-1)下移一个得到。所以说，

DP[i][j]=DP[i-1][j]+DP[i][j-1]

这就是递推公式。代码如下：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> DP(m, vector<int>(n, 1));
        for(int i=1;i<m;i++)
            for(int j=1;j<n;j++)
                DP[i][j]=DP[i-1][j]+DP[i][j-1];
        return DP[m-1][n-1];
    }
};

三、总结

组合数的方法还是很容易看出来的。但是求出组合数就需要一定的技巧。DP我没看出来，这是与字符串处理不相同的一类DP问题。